Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

Общие идеи

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

H1 - Конструктивы (страница 2)

Задание 8 #6400

Может ли Гарри Поттер написать на доску несколько натуральных чисел так, чтобы их сумма была в \(10\) раз больше их произведения?

Ответ:

Задание 9 #6401

Гарри, Рон и Гермиона решили прокатиться на автобусе “Ночной рыцарь”. Оказалось, что проезд стоит \(5\) сиклей, а у ребят были только монеты достоинством \(10\), \(15\) и \(20\) сиклей (у каждого монеты всех трех достоинств в большом количестве). У кондуктора Стэна Шампайка, разумеется, нет никакой сдачи. Тем не менее, ребята все равно смогли расплатиться за проезд так, что каждый отдал ровно \(5\) сиклей. Как им это удалось?

Ответ:

Задание 10 #6402

Гарри, Рон и Невилл изучают \(10\) предметов. Может ли оказаться, что оценки Гарри более чем по половине предметов выше, чем оценки Рона, оценки Рона более чем по половине предметов выше, чем оценки Невилла, а оценки Невилла более чем по половине предметов выше, чем оценки Гарри?

Ответ:

Задание 11 #6403

Директор Дамблдор всегда действует в интересах высшего блага. Поэтому на ежемесячном совещании с профессорами МакГонагалл, Флитвиком и Снейпом он предлагает им новый список зарплат для них и для себя. Решение о принятии списка зарплат принимается голосованием, сам Дамблдор для справедливости не голосует. Профессора голосуют “за”, если их собственная зарплата увеличивается, и “против” в противном случае. Новые зарплаты принимаются, если “за” проголосовали хотя бы двое из трех профессоров. Может ли справедливый Дамблдор добиться того, чтобы спустя несколько месяцев его зарплата увеличилась в \(1000\) раз, а зарплата каждого из профессоров уменьшилась в \(1000\) раз?

Ответ:

Задание 12 #6734

Натуральное число называется точным квадратом, если оно является произведением двух одинаковых натуральных чисел. Например, \(9=3\cdot 3\) — точный квадрат. Существует ли точный квадрат, равный сумме двух точных квадратов?

Например, подходит \(25=16+9\). При этом \(25=5\cdot 5\), \(16=4\cdot 4\), \(9=3\cdot 3\), то есть это действительно три точных квадрата.

Ответ: Да, существует.

Задание 13 #6735

Разрежьте квадрат на меньшие квадраты так, чтобы из них можно было сложить два меньших не равных квадрата.

Попробуем привести пример, в котором стороны квадратов целые. Тогда сначала нам надо отыскать точный квадрат, который можно представить в виде суммы двух точных квадратов. Это мы сделали в предыдущей задаче: \(5\cdot 5=4\cdot 4+3\cdot 3\). Теперь достаточно разрезать квадрат на \(25\) одинаковых маленьких квадратиков, а из них сложить два квадрата: \(3\times 3\) и \(4\times 4\).

Замечание. Разумеется, в этой задаче достаточно привести лишь пример. Рассуждения показывают, как это пример можно придумать.

Ответ:

Задание 14 #6736

Можно ли разрезать квадрат на одинаковые треугольники, из которых можно сложить два неравных квадрата?

Сначала разрежем квадрат на \(25\) одинаковых меньших квадратов. Из таких квадратов можно сложить два неравных квадрата: \(3\times 3\) и \(4 \times 4\), так как \(3\cdot 3+4\cdot 4=5\cdot 5\). Затем каждый квадратик разрежем на два треугольничка диагональю. Все маленькие треугольнички будут равны, и из них точно также складываются два неравных квадрата.

Ответ: Да, можно.