Может ли Гарри Поттер написать на доску несколько натуральных чисел так, чтобы их сумма была в \(10\) раз больше их произведения?
Ответ:
Общие идеи
Может ли Гарри Поттер написать на доску несколько натуральных чисел так, чтобы их сумма была в \(10\) раз больше их произведения?
Ответ:
Гарри, Рон и Гермиона решили прокатиться на автобусе “Ночной рыцарь”. Оказалось, что проезд стоит \(5\) сиклей, а у ребят были только монеты достоинством \(10\), \(15\) и \(20\) сиклей (у каждого монеты всех трех достоинств в большом количестве). У кондуктора Стэна Шампайка, разумеется, нет никакой сдачи. Тем не менее, ребята все равно смогли расплатиться за проезд так, что каждый отдал ровно \(5\) сиклей. Как им это удалось?
Ответ:
Гарри, Рон и Невилл изучают \(10\) предметов. Может ли оказаться, что оценки Гарри более чем по половине предметов выше, чем оценки Рона, оценки Рона более чем по половине предметов выше, чем оценки Невилла, а оценки Невилла более чем по половине предметов выше, чем оценки Гарри?
Ответ:
Директор Дамблдор всегда действует в интересах высшего блага. Поэтому на ежемесячном совещании с профессорами МакГонагалл, Флитвиком и Снейпом он предлагает им новый список зарплат для них и для себя. Решение о принятии списка зарплат принимается голосованием, сам Дамблдор для справедливости не голосует. Профессора голосуют “за”, если их собственная зарплата увеличивается, и “против” в противном случае. Новые зарплаты принимаются, если “за” проголосовали хотя бы двое из трех профессоров. Может ли справедливый Дамблдор добиться того, чтобы спустя несколько месяцев его зарплата увеличилась в \(1000\) раз, а зарплата каждого из профессоров уменьшилась в \(1000\) раз?
Ответ:
Натуральное число называется точным квадратом, если оно является произведением двух одинаковых натуральных чисел. Например, \(9=3\cdot 3\) — точный квадрат. Существует ли точный квадрат, равный сумме двух точных квадратов?
Например, подходит \(25=16+9\). При этом \(25=5\cdot 5\), \(16=4\cdot 4\), \(9=3\cdot 3\), то есть это действительно три точных квадрата.
Ответ: Да, существует.
Разрежьте квадрат на меньшие квадраты так, чтобы из них можно было сложить два меньших не равных квадрата.
Попробуем привести пример, в котором стороны квадратов целые. Тогда сначала нам надо отыскать точный квадрат, который можно представить в виде суммы двух точных квадратов. Это мы сделали в предыдущей задаче: \(5\cdot 5=4\cdot 4+3\cdot 3\). Теперь достаточно разрезать квадрат на \(25\) одинаковых маленьких квадратиков, а из них сложить два квадрата: \(3\times 3\) и \(4\times 4\).
Замечание. Разумеется, в этой задаче достаточно привести лишь пример. Рассуждения показывают, как это пример можно придумать.
Ответ:
Можно ли разрезать квадрат на одинаковые треугольники, из которых можно сложить два неравных квадрата?
Сначала разрежем квадрат на \(25\) одинаковых меньших квадратов. Из таких квадратов можно сложить два неравных квадрата: \(3\times 3\) и \(4 \times 4\), так как \(3\cdot 3+4\cdot 4=5\cdot 5\). Затем каждый квадратик разрежем на два треугольничка диагональю. Все маленькие треугольнички будут равны, и из них точно также складываются два неравных квадрата.
Ответ: Да, можно.