Сначала объясним, почему вообще последние цифры зациклятся. Для этого посчитаем произведения одной, двух, трех и т.д. двоек, пока последняя цифра не повторится. \[\begin{array}{rcl}
2&=&2 \\
2\cdot 2&=&4 \\
2\cdot 2\cdot 2&=&8 \\
2\cdot 2 \cdot 2\cdot 2&=&16 \\
2\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2&=&32.
\end{array}\]
Как мы видим, произведение пяти двоек оканчивается на ту же цифру, что и произведение одной двойки. Дальше последняя цифра начнет повторяться: так как последняя цифра произведения зависит только от последних цифр сомножителей, то не важно, умножим мы на \(2\) число \(32\) или число \(2\), все равно результат будет оканчиваться на \(4\). Точно также при умножении на \(2\) после цифры \(4\) идет цифра \(8\), после \(8\) — цифра \(6\), а после цифры \(6\) — снова цифра \(2\).
Значит, цифра \(2\) повторяется через каждые четыре умножения на двойку. Так как изначально одна двойка уже записана, то всего мы будем умножать на двойку \(999\) раз. Поделим число \(999\) с остатком на \(4\). Отметим еще раз, что мы делим именно на \(4\), потому что последняя цифра \(2\) повторяется через \(4\) умножения на двойку. \(999=4\cdot 249+3\). Поэтому за \(999\) умножений на двойку пройдет \(249\) полных кругов, после которых последняя цифра будет равна \(2\), и еще останутся три умножения на \(2\). За три этих умножения мы получим на конце \(2\rightarrow 4\rightarrow 8 \rightarrow 6\), то есть цифру \(6\). Таким образом, последняя цифра произведения Гермионы равна \(6\).
Ответ: 6.