Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

Общие идеи

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

H1 - Конструктивы

Задание 1 #6393

Расставьте в таблицу \(3\times 4\) четыре нуля, четыре единицы и четыре двойки так, чтобы суммы во всех строках были равны.

Отметим сразу, что в этой задаче, конечно, достаточно лишь привести пример. Но мы все-таки объясним еще, как такие примеры быстрее придумывать.

Сначала посчитаем, чему должна получиться равной сумма чисел в одной строке. Сумма всех расставляемых чисел равна \(0\cdot 4+1\cdot 4+2\cdot 4=12\), значит, в одной строке сумма равна \(12:3=4\). Поэтому поставим в первую и вторую строки по две двойки и два нуля, а в третью — четыре единицы.

Ответ:

Задание 2 #6394

В кабинете профессора Трелони стоят \(5\) гадальных шаров. Между любыми двумя шарами идет линия судьбы, которая бывает \(4\) различных цветов. Может ли оказаться, что линии судьбы, отходящие от каждого шара, были разных цветов?

Предположим, что указанная в условии конструкция возможна. Заметим, что линий судьбы одного цвета не больше двух: если бы линий судьбы какого-то цвета было хотя бы \(3\), то у них было бы \(6\) концов, а так как шаров всего \(5\), то какие-то два конца шли из одного шара, и для этого шара условие бы не выполнялось. Тогда всего линий судьбы не больше \(2\cdot 4=8\). С другой стороны, \(5\) гадальных шаров соединяют \(10\) линий, а значит, какие-то три все-таки должны быть одного цвета.

Ответ: Нет, не может.

Задание 3 #6395

В кабинете профессора Трелони стоят \(6\) гадальных шаров. Между любыми двумя шарами идет линия судьбы, которая бывает \(5\) различных цветов. Может ли оказаться, что линии судьбы, отходящие от каждого шара, были разных цветов?

Пронумеруем шары числами \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\) и \(6\). Пусть красные линии будут между шарами \(1-2\), \(3-4\), \(5-6\), синие — между шарами \(2-3\), \(4-5\) и \(1-6\), зеленые — между \(2-5\), \(1-3\) и \(4-6\), желтые — между \(1-4\), \(2-6\), \(3-5\), и, наконец, белые — между шарами \(3-6\), \(1-5\), \(2-4\). Нетрудно убедиться, что условие в таком случае выполняется.

Ответ: Да, может.

Задание 4 #6396

Можно ли числа от \(1\) до \(20\) разбить на \(10\) пар четное-нечетное так, чтобы в каждой паре нечетное число было больше четного?

Ответ:

Задание 5 #6397

Можно ли числа от \(1\) до \(20\) разбить на \(10\) пар четное-нечетное так, чтобы в каждой паре, кроме одной, нечетное число было больше четного?

Ответ:

Задание 6 #6398

\(10\) гриффиндорцев и \(10\) слизеринцев разбились на пары гриффиндорец-слизеринец для проведения учебной дуэли. Оказалось, что в каждой паре гриффиндорец выше слизеринца. На следующий день они разбились на пары гриффиндорец-слизеринец как-то по-другому. Может ли оказаться, что во всех парах на этот раз слизеринец будет выше гриффиндорца?

Ответ:

Задание 7 #6399

\(10\) гриффиндорцев и \(10\) слизеринцев разбились на пары гриффиндорец-слизеринец для проведения учебной дуэли. Оказалось, что в каждой паре гриффиндорец выше слизеринца. На следующий день они разбились на пары гриффиндорец-слизеринец как-то по-другому. Может ли оказаться, что в \(9\) парах из \(10\) на этот раз слизеринец будет выше гриффиндорца?

Ответ: