Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

Общие идеи

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

H1 - Конструктивы (страница 5)

Задание 29 #6739

Можно ли расставить на доске \(5\times 5\) пять ферзей так, чтобы они не били друг друга? Напомним, что ферзь бьет на любое число клеток по вертикали, горизонтали или диагонали.

Ответ:

Задание 30 #6738

Проходя волшебный лабиринт на Турнире Трех Волшебников, Гарри Поттер столкнулся с непростым заданием. Перед ним нарисован квадрат \(4\times 4\), в каждой клетке записано число \(10\). За одно действие он может выбрать горизонтальный прямоугольник \(2\times 1\) или \(3\times 1\) и либо увеличить каждое число в этом прямоугольнике на \(1\), либо уменьшить каждое число в этом прямоугольнике на \(1\). Как Гарри Поттеру получить квадрат со следующей расстановкой чисел?

Ответ:

Задание 31 #6737

Проходя волшебный лабиринт на Турнире Трех Волшебников, Гарри Поттер столкнулся с непростым заданием. Перед ним нарисован квадрат \(4\times 4\), в каждой клетке записано число \(10\). За одно действие он может выбрать горизонтальный прямоугольник \(2\times 1\) или \(3\times 1\) и либо увеличить каждое число в этом прямоугольнике на \(1\), либо уменьшить каждое число в этом прямоугольнике на \(1\). Как Гарри Поттеру получить квадрат, в котором в левом верхнем углу написано число \(11\), а в остальных клетках — по прежнему числа \(10\)?

Ответ:

Задание 32 #6736

Можно ли разрезать квадрат на одинаковые треугольники, из которых можно сложить два неравных квадрата?

Сначала разрежем квадрат на \(25\) одинаковых меньших квадратов. Из таких квадратов можно сложить два неравных квадрата: \(3\times 3\) и \(4 \times 4\), так как \(3\cdot 3+4\cdot 4=5\cdot 5\). Затем каждый квадратик разрежем на два треугольничка диагональю. Все маленькие треугольнички будут равны, и из них точно также складываются два неравных квадрата.

Ответ: Да, можно.

Задание 33 #6735

Разрежьте квадрат на меньшие квадраты так, чтобы из них можно было сложить два меньших не равных квадрата.

Попробуем привести пример, в котором стороны квадратов целые. Тогда сначала нам надо отыскать точный квадрат, который можно представить в виде суммы двух точных квадратов. Это мы сделали в предыдущей задаче: \(5\cdot 5=4\cdot 4+3\cdot 3\). Теперь достаточно разрезать квадрат на \(25\) одинаковых маленьких квадратиков, а из них сложить два квадрата: \(3\times 3\) и \(4\times 4\).

Замечание. Разумеется, в этой задаче достаточно привести лишь пример. Рассуждения показывают, как это пример можно придумать.

Ответ:

Задание 34 #6734

Натуральное число называется точным квадратом, если оно является произведением двух одинаковых натуральных чисел. Например, \(9=3\cdot 3\) — точный квадрат. Существует ли точный квадрат, равный сумме двух точных квадратов?

Например, подходит \(25=16+9\). При этом \(25=5\cdot 5\), \(16=4\cdot 4\), \(9=3\cdot 3\), то есть это действительно три точных квадрата.

Ответ: Да, существует.