Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

Логика

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

H1 - Отрицание

Задание 1 #5534

Мисс Барашкис уверена, что никакое число, большее 1000, не может делиться на каждую из своих цифр (потому что найти такое число она не смогла). Как Джуди разубедить Мисс Барашкис?

Сначала построим отрицание к утверждению Мисс Барашкис. Она считает, что никакое число, больше 1000, и т.д. Значит, это общее высказывание (оно про ВСЕ числа, большие 1000), поэтому отрицанием будет служить высказывание о существовании.

Таким образом, начать надо, например, так: существует число, большее 1000, которое…Которое что? Которое не подходит под утверждение Мисс Барашкис, то есть делится на каждую из своих цифр. Целиком отрицание звучит так: “Существует число, большее 1000, которое делится на каждую из своих цифр”.

И оно действительно существует: например, подходит число 1111. Таким образом, верно отрицание утверждения Мисс Барашкис, значит, само утверждение Барашкис неверно. И чтобы это доказать, Джуди достаточно привести контрпример, скажем, число 1111.

Комментарий. При желании можно составить и число из разных цифр. Например, подходит также 1236.

Ответ:

Задание 2 #5535

Мисс Барашкис уверена, что, если очень постарается, она сможет найти натуральное число, составленное только из цифр 1 и 3, делящееся на 4. Как Джуди убедить Барашкис, что она не права?

Попробуем более ясно сформулировать утверждение Мисс Барашкис: существует натуральное число, составленное только из цифр 1 и 3, делящееся на 4. Это утверждение о существовании. Отрицанием к этому утверждению будет служить общее утверждение.

Можно, например, начать так: “Все натуральные числа, составленные из цифр 1 и 3, …”. А что именно про эти числа мы хотим сказать? Мисс Барашкис говорит, что одно из таких числе делится на 4, значит, нам нужно сказать, что таких чисел не существует! Поэтому фраза может звучать так: “Все натуральные числа, составленные из цифр 1 и 3, не делятся на 4”. Или по-другому: “Ни одно натуральное число, составленное из цифр 1 и 3, не делится на 4. Последние два утверждения об одном и том же.

Итак, теперь понятно, что делать Джуди: объяснять, почему чисел, составленных из цифр 1 и 3, делящихся на 4, не существует. Действительно, если число делится на 4, то оно должно быть как минимум четно. Но любое число, составленное из цифр 1 и 3, нечетно. Значит, таких чисел, то есть состоящих из цифр 1 и 3 и делящихся на 4, не существует!

Подобные рассуждения и нужно привести Джуди, чтобы объяснить Барашкис, почему она не права.

Комментарий. Обратите внимание, что здесь Джуди не достаточно просто привести пример числа, состоящего из цифр 1 и 3 и не делящегося на 4: это не будет контрпримером к утверждению Барашкис! Здесь именно надо объяснить, почему таких чисел, состоящих из цифр 1 и 3 и не делящихся на 4, вообще не существует, ни одного!

Ответ:

Задание 3 #5539

Сформулируйте отрицания к утверждениям:

1) Все мышки в Зверополисе белые.

2) Лис Ник ответственный и обаятельный.

3) Хищников в Зверополисе больше, чем травоядных.

4) Джуди каждый день идет на работу или едет к своим родителям в деревню.

1) Это общее утверждение, значит, отрицанием будет служить утверждение о существовании: В Звероплисе существует мышь, которая…Которая что? Чтобы утверждение было отрицанием к написанному выше, эта мышка должна быть не белой. Значит, все утверждение можно сформулировать так: “В Зверополисе существует мышь, которая не белая”. Или, по-русски: “В Зверополисе найдется не белая мышь”.

Комментарий. Обратите внимание, что отрицанием к слову “белая” будет “не белая”! Ни в коем случае не “черная”! Ведь в городе вполне может проживать одна серая мышь, все остальные будут белыми, и утверждение “Все мышки в Зверополисе белые” все равно не будет верно.

2) Это утверждение состоит из двух частей, соединенных союзом “и”. Отрицание к такому утверждению должно подразумевать, что хотя бы одна из частей исходного утверждения неверна. То есть или Ник не ответственный, или Ник не обаятельный. Значит, отрицание может звучать, например, таким образом: “Ник не ответственный или не обаятельный”.

3) Сначала запишем отрицание к исходному утверждению таким образом: “Неверно, что хищников в зверополисе больше, чем травоядных”. Попробуем переписать это утверждение немного по-другому, чтобы было понятно, а что же тогда верно. Можно так: “Хищников в зверополисе не больше, чем травоядных”, или так: “Травоядных в зверополисе хотя бы столько же, сколько хищников”.

Комментарий. При построении отрицания к утверждению, содержащем слова “больше” или “меньше” помните, что они не совсем противоположны по смыслу: бывает еще случай равенства!

4) Обратим внимание, что части данного утверждения соединены союзом “или”. Таким образом, утверждение верно, когда верна хотя бы одна из его частей. Значит, если мы хотим построить отрицание к такому утверждению, то нужно сформулировать его так, чтобы одновременно и первая, и вторая часть утверждения не выполнялись. Части такого утверждения обычно соединяют союзом “и”.

Кроме того, в утверждении присутствует слово “каждый”! Значит, это еще и общее утверждение! Поэтому отрицанием к нему будет утверждение о существовании, а именно о существовании дня, в который утверждение не выполнено.

Таким образом, отрицание можно сформулировать так: “Существует день, в который Джуди не пошла на работу и не поехала к своим родителям в деревню”.

Ответ:

Задание 4 #5537

Мисс Барашкис уверена, что можно вырезать из шахматной доски \(8\times 8\) 4 клетки так, чтобы оставшуюся доску можно было разрезать на “доминошки”, то есть прямоугольники \(1\times 2\). Права ли Мисс Барашкис?

Посмотрим внимательно на утверждение Мисс Барашкис. Она говорит, что можно вырезать 4 клетки так, чтобы…. То есть это утверждение о существовании, а именно о существовании способа так вырезать 4 клетки, чтобы оставшуюся часть можно было разрезать на доминошки. Такое утверждение будет верно, если есть хотя бы один способ вырезать 4 клетки из доски \(8\times 8\) так, чтобы оставшуюся часть доски можно было разрезать на доминошки.

И действительно, такой способ существует: например, достаточно вырезать 4 клетки, образующие квадратик \(2\times 2\), приставленный к левому верхнему углу.

Оставшуюся фигурку легко разрезать, например, на вертикальные доминошки:

Значит, Мисс Барашкис права, и вырезать из шахматной доски \(8\times 8\) 4 клетки так, чтобы оставшуюся часть можно было разрезать на доминошки, можно.

Ответ: Да, права

Задание 5 #5536

Верно ли, что из любого прямоугольника, состоящего из 120 клеток, можно вырезать 40 уголков из трех клеток, изображенных на рисунке? Уголки можно поворачивать и переворачивать.

Сначала проанализируем, что от нас хотят в такой задаче. Если мы отвечаем “Да”, то нам нужно доказать, что каждый прямоугольник, состоящий из 120 клеток, можно разрезать на 40 уголков из трех клеток. Если же мы отвечаем “Нет”, то нам достаточно придумать один контрпример, то есть прямоугольник, состоящий из 120 клеток, который нельзя разрезать на 40 уголков.

Так ведь такой прямоугольник из 120 клеток, который нельзя разрезать на уголки, существует! Это полоска \(1\times 120\): из нее вообще ни одного уголка нельзя вырезать. Значит, правильным ответом на эту задачу будет “Нет”, и чтобы это доказать, достаточно привести контрпример: прямоугольник \(1 \times 120\), который на 40 уголков разрезать нельзя.

Ответ: Нет, не верно

Задание 6 #5538

Мисс Барашкис так понравилось вырезать из доски \(8\times 8\) четыре клетки и разбивать оставшуюся часть на доминошки, что теперь она уверена, что как ни вырежи 4 клетки из шахматной доски \(8\times 8\), всегда оставшуюся фигурку можно разрезать на доминошки. Не ошибается ли Мисс Барашкис?

На этот раз утверждение Мисс Барашкис можно сформулировать так: при вырезании любых 4 клеток из шахматной доски \(8\times 8\) оставшуюся фигурку можно разрезать на доминошки. Значит, это общее утверждение, и если оно неверно, то достаточно привести один способ вырезать 4 клетки так, что оставшуюся часть разрезать на доминошки не удастся — этого будет достаточно, чтобы утверждать, что Мисс Барашкис ошибается.

Можно привести такой контрпример: вырежем из шахматной доски правую нижнюю угловую клетку, а также 3 клетки слева сверху так, чтобы от доски отвалился уголок из трех клеток:

Тогда обе фигурки, на которые распалась доска, состоят из нечетно числа клеток: в уголке 3 клетки, а в другой фигурке \(64-4-3=57\) клеток. Но чтобы фигурку можно было разрезать на доминошки, в ней обязательно должно быть четное число клеток. Значит, оставшуюся часть доски нельзя разрезать на доминошки.

Таким образом, мы нашли контрпример к утверждению Мисс Барашкис. Значит, она ошибается.

Комментарий. Существует множество способов вырезать из шахматной доски 4 клетки так, чтобы оставшуюся часть нельзя было разрезать на доминошки. Например, если представить, что доска раскрашена в шахматном порядке, то достаточно вырезать 4 одноцветные клетки, скажем, все 4 черные.

Тогда в оставшемся куске черных клеток будет меньше, чем белых. С другой стороны, каждая доминошка состоит из одной белой и одной черной клеток, значит, если фигурку можно разрезать на доминошки, то в ней должно быть поровну белых и черных клеток, а в нашем случае это не так.

Тем не менее, нам не надо находить все варианты, когда оставшуюся часть нельзя разрезать на доминошки: достаточно привести один контрпример, этого уже будет достаточно, чтобы опровергнуть утверждение Мисс Барашкис.

Ответ: Ошибается

Задание 7 #5540

Для каких натуральных \(n\) утверждение “Число \(n\) или \(n+5\) является четным” истинно?

Утверждение “Число \(n\) или \(n+5\) является четным” истинно, если истинна хотя бы одна из его частей, так как эти части соединены союзом “или”. Но числа \(n\) и \(n+5\) разной четности, так как отличаются на нечетное число 5. Значит одно из них четно, а другое нечетно, и утверждение всегда верно.

Ответ: Для любых натуральных n