Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

Процессы

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

H1 - Взвешивания

Задание 1 #6463

У вас есть три галеона, один из которых фальшивый. Вы знаете, что фальшивый галеон весит легче настоящего. Как за одно взвешивание на волшебных чашечных весах без гирь найти фальшивый галеон? Можно ли найти фальшивый галеон за одно взвешивание, если монет \(4\)?

Сначала покажем, как найти фальшивый галеон при трех монетах. Взвесим по одной монете, а третью отложим. Разберем два возможных случая.

Случай 1. Предположим, что весы показали равенство. Тогда ни одна из взвешиваемых монет не является фальшивой. Значит, фальшивый галеон — тот, что мы отложили.

Случай 2. Предположим, что одна из чаш перевесила (то есть оказалась тяжелее). Тогда на более легкой чаше лежит фальшивый галеон, и мы его опять же определили.

Теперь объясним, почему из \(4\) монет один фальшивый галеон мы не сможем найти. Так как монет \(4\), то либо на одной из чаш будет хотя бы две монеты, либо мы отложим хотя бы две монеты.

Если в первом случае на чаши положено разное число монет, то пусть перевесит чаша, на которой монет больше. Тогда фальшивой по-прежнему может быть любая из монет. Если же на чашах монет поровну (то есть по две), то пусть перевесит, скажем, левая чаша. Фальшивой может оказаться любая из двух монет на более легкой правой чаше, значит, однозначно определить фальшивую в этом случае не получится.

Во втором случае мы взвесили по одной монете и две отложили. Пусть весы оказались в равновесии. Тогда мы не можем определить, какая из двух отложенных монет фальшивая.

Мы рассмотрели все варианты взвешиваний, и во всех вариантах нашли случаи, при которых однозначно определить фальшивую монету невозможно. Значит, при \(4\) монетах справиться с заданием не удастся.

Ответ: Нет, нельзя.

Задание 2 #6464

У Гарри Поттера есть 5 галеонов, из которых ровно один фальшивый, легче настоящего. Как за одно взвешивание на волшебных чашечных весах без гирь найти хотя бы \(3\) настоящих монеты на покупку нового медного котла?

Взвесим на чашечных весах по одной монете. Разберем два случая.

Случай 1. Предположим, что весы показали равенство. Это означает, что на чашах весов поровну фальшивых монет. Но по условию фальшивый галеон всего один. Значит, все монеты на чашах настоящие. Поэтому в таком случае мы нашли даже \(4\) настоящие монеты.

Случай 2. Если весы не в равновесии, то какая-то чаша перевесила (то есть оказалась тяжелее). Обозначим монеты на перевесившей чаше через \(1\) и \(2\), на другой — через \(3\) и \(4\), а монету, которую мы не взвешивали, через \(5\). Тогда фальшивый галеон находится среди монет \(3\) и \(4\), а обе монеты \(1\) и \(2\) — настоящие. Но также, так как фальшивая монета лишь одна, пятый оставшийся галеон точно настоящий. Поэтому мы нашли три настоящие монеты: \(1\), \(2\) и \(5\).

Мы разобрали оба возможных случая и в каждом нашли хотя бы три настоящие монеты, что и требовалось.

Ответ:

Задание 3 #6465

Грозный Глаз Аластор Грюм напал на след большой партии фальшивых галеонов. Ему попалось 20 монет, среди которых ровно одна фальшивая. Грюм хочет узнать, тяжелее фальшивый галеон или легче. Как ему справиться с заданием всего за два взвешивания? Находить саму фальшивую монету не нужно.

Разделим произвольным образом монеты на две группы по \(10\) и взвесим их между собой. Так как по условию среди монет ровно одна фальшивая, то равенство невозможно. Значит, одна из чаш перевесит, скажем, левая. Вторым взвешиванием разделим \(10\) монет с левой части на две кучи по \(5\) и взвесим их между собой. Разберем два случая.

Случай 1. Кучи оказались равны. Это означает, что во время второго взвешивания на чашах весов нет фальшивой монеты. Поэтому во время первого взвешивания она оказалась на тяжелой чаше, то есть фальшивый галеон тяжелее настоящего.

Случай 2. Одна из куч перевесила. Это означает, что во время второго взвешивания на чашах весов есть фальшивая монета. Поэтому во время первого взвешивания она оказалась на легкой чаше, то есть фальшивый галеон легче настоящего.

Итак, мы рассмотрели оба случая, и в каждом определили, является ли фальшивая монета более легкой или более тяжелой.

Ответ:

Задание 4 #6466

Рону нужно купить новую волшебную палочку за \(6\) галеонов. У него есть \(9\) галеонов, среди которых ровно один фальшивый. Рон знает, что фальшивый галеон легче настоящих. Как за одно взвешивание на чашечных весах без гирь найти хотя бы \(6\) настоящих монет?

Ответ:

Задание 5 #6467

У профессора Флитвика \(9\) галеонов, среди которых ровно один фальшивый. Флитвик знает, что фальшивый галеон легче настоящего. Как за два взвешивания на волшебных чашечных весах без гирь найти фальшивый галеон?

Ответ:

Задание 6 #6468

Месячная зарплата профессора Снейпа составляет \(26\) галеонов плюс премия в \(1\) галеон. Чтобы проверить его сообразительность, директор Дамблдор подсунул в качестве премии один фальшивый галеон, который чуть легче настоящего, и сообщил, что выдаст вместо фальшивого галеона настоящий только в том случае, если профессор Снейп сможет за \(3\) взвешивания на волшебных весах без гирь найти фальшивый галеон. Как действовать профессору Снейпу, чтобы гарантированно не лишиться премии?

Ответ:

Задание 7 #6469

У Невилла есть \(4\) галеона, среди которых ровно один фальшивый. К сожалению, Невилл не знает, является фальшивый галеон более тяжелым или более легким. Как за два взвешивания на волшебных чашечных весах без гирь определить фальшивую монету? Узнавать, является эта монета более легкой или более тяжелой, не требуется.

Ответ: