Докажите, что четырехзначное число дает такой же остаток при делении на \(3\) и \(9\), что и сумма его цифр.
Обозначим наше число через \(\overline{abcd}\). Распишем его как сумму степеней десятки, умноженную на соответствующий разряд: \[\overline{abcd}=10^3a+10^2b+10c+d.\]
Заметим, что число \(10\) в любой степени дает остаток \(1\) при делении на \(3\) и \(9\). Поэтому любое слагаемое, например \(10^3a\), дает такой же остаток, что и просто цифра \(a\). Значит, всё число дает такой же остаток при делении на \(3\) и \(9\), что и \(a+b+c+d\), то есть сумма цифр.
Комментарий. Разумеется, количество разрядов в числе не важно. Мы доказываем признак равноостаточности для четырехзначных чисел, чтобы нам не пришлось использовать слишком общие рассуждения. В дальнейшем мы будем пользоваться признаком для чисел с любым количеством цифр.
Ответ: