Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

Арифметика

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

H1 - Признаки делимости на 3 и 9

Задание 1 #10201

Докажите, что четырехзначное число дает такой же остаток при делении на \(3\) и \(9\), что и сумма его цифр.

Обозначим наше число через \(\overline{abcd}\). Распишем его как сумму степеней десятки, умноженную на соответствующий разряд: \[\overline{abcd}=10^3a+10^2b+10c+d.\]

Заметим, что число \(10\) в любой степени дает остаток \(1\) при делении на \(3\) и \(9\). Поэтому любое слагаемое, например \(10^3a\), дает такой же остаток, что и просто цифра \(a\). Значит, всё число дает такой же остаток при делении на \(3\) и \(9\), что и \(a+b+c+d\), то есть сумма цифр.

Комментарий. Разумеется, количество разрядов в числе не важно. Мы доказываем признак равноостаточности для четырехзначных чисел, чтобы нам не пришлось использовать слишком общие рассуждения. В дальнейшем мы будем пользоваться признаком для чисел с любым количеством цифр.

Ответ:

Задание 2 #10202

Можно ли в числе \(12345\) переставить цифры так, чтобы оно стало квадратом?

Воспользуемся признаками равноостаточности для \(3\) и \(9\). Сумма цифр данного числа равна \(1+2+3+4+5=15\). Эта сумма делится на \(3\), но не делится на \(9\). Значит, само число, как бы мы ни переставляли его цифры, также будет делиться на \(3\), но не делиться на \(9\). Поэтому квадратом оно быть не может.

Ответ: Нет, нельзя.

Задание 3 #10203

Можно ли в числе \(13579\) переставить цифры местами так, чтобы оно делилось на каждую из своих цифр?

Ответ:

Задание 4 #10204

Можно ли приписать к числу \(2020\) одну цифру справа так, чтобы результат делился на \(18\)?

Ответ:

Задание 5 #10205

Известно, что произведение чисел от \(1\) до \(15\) равно \(1\,307\,674\,36\star\,000\). К сожалению, как вы видите, на месте одной цифры теперь клякса. Что за цифра должна быть на месте кляксы? В своем решении обойдитесь без громоздких вычислений.

Ответ:

Задание 6 #10206

Можно ли из десяти единиц, десяти двоек и десяти троек составить простое число? Все цифры нужно использовать.

Ответ:

Задание 7 #10207

Дмитрий Алексеевич, скучая, написал на доске текущий год. Время от времени он отнимает от числа, написанного на доске, сумму его цифр. Старое число при этом стирается, а новое выписывается вместо старого. Дмитрий Алексеевич закончил это занятие, как только на доске появилось однозначное ненулевое число. Какое?

Ответ: