Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

Процессы

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

H1 - Переливания и переправы

Только начиная заниматься олимпиадами, наша основная задача — научиться нестандартно мыслить. Уже потом мы подробнее изучим различные теоремы, помогающие решать те или иные задачи, а пока просто развиваем мозги. И в этом разделе мы займемся придумыванием различных конструкций в задачах с процессами.

Один из распространенных сюжетов — переправы. В этих задачах несколько человек обычно хотят переправиться через реку, у них есть только одна лодка, которая всех не вмещает, и еще дано несколько условий. Придумать пример могут помочь дополнительные соображения, например, вы можете спросить себя, как вообще должна выглядеть конструкция, решающая подобную задачу.

Задание 1 #5220

Джуди, Ник, Мэра Леодор и Мисс Барашкис отправились в поход. По пути им нужно переправиться через реку, и на всех четверых у них есть только одна лодка. К сожалению, лодка небольшая, и уместиться на ней могут только двое. А управиться с лодкой может только Мэр Леодор, поэтому ему и надо всех отвозить. При этом Мэру Леодору очень не нравится идея оставлять Мисс Барашкис одну с Джуди или с Ником ввиду их напряженных отношений. Как компании безопасно переправиться на другой берег?

Приведем такую стратегию за Мэра Леодора. Сначала он забирает с собой Мисс Барашкис (при этом Джуди и Ника можно оставить вдвоем), дальше он возвращается на остров один. Затем забирает с собой Джуди и переправляется через реку. Джуди оставляет на другом берегу, а Мисс Барашкис забирает с собой в лодку. Вместе с Мисс Барашкис переправляется через реку, оставляя Джуди одну на другом берегу. Затем он забирает Ника, оставляя Мисс Барашкис одну на начальному берегу, оставляет Ника на другом берегу вместе с Джуди, возвращается за Мисс Барашкис, забирает ее, и в последний раз переправляется на другой берег.

Ответ:

Задание 2 #5221

На следующий день Ник и Джуди отделились от остальной компании и пошли гулять. По пути они встретили реку и двух катающихся по ней бурундучков. Лодка у бурундучков очень маленькая, она вмещает либо только двух бурундучков, либо кого-то одного из Ника и Джуди. Найдите способ, как им четверым переправиться на другой берег. На этот раз с лодкой может управиться каждый из зверят.

Пронумеруем берега реки, пусть на первом берегу находятся сейчас все четверо, а переправиться они хотят на второй берег. Пусть сначала бурундучки отправятся вдвоем на второй берег, а вернется оттуда только один. Затем в лодку садится Джуди и переправляется одна на второй берег. Она там остается, а лодку перевозит обратно на первый берег второй бурундучок. Затем снова с первого берега на второй переправляются два бурундучка, а обратно возвращается только один. Теперь в лодке переправляется Ник и остается на втором берегу. В лодку садится второй бурундучок, отправляется на первый берег, забирает с собой первого бурундучка и возвращается с ним на второй берег.

Ответ:

Задание 3 #5227

Мисс Барашкис купила в магазине 3 котлеты, принесла их домой и решила их пожарить. К сожалению, оказалось, что на ее маленькой сковородке одновременно помещаются только 2 котлеты. Каждую котлету надо обжаривать с двух сторон. На обжарку котлеты с одной стороны необходимо потратить 2 минуты. Может ли Мисс Барашкис пожарить котлеты меньше, чем за 8 минут?

Приведем один из возможных алгоритмов, позволяющий Мисс Барашкис обжарить котлеты всего за 6 минут. Пронумеруем котлеты числами 1, 2 и 3. Сначала кладем на сковородку котлеты 1 и 2 на две минуты. Через две минуты переворачиваем первую котлетку, вторую убираем со сковороды на тарелку, но добавляем третью котлету, и жарим первую и третью котлеты две минуты. Спустя 4 минуты после начала процесса первая котлета готова, и мы ее снимаем со сковороды и кладем на тарелку. Третью котлету переворачиваем, а вторую возвращаем на сковородку, кладя необжаренной стороной вниз. В итоге еще через 2 минуты мы получим 3 целиком готовые котлеты.

Ответ: Да, может

Задание 4 #5223

Два котенка и два щенка отправились в поход вслед за Джуди и ее компанией. Они подошли к реке и увидели такую же лодку, вмещающую только двоих. К счастью, каждый из четверых умеет управляться с лодкой. Но котята боятся щенят, и хотят все время быть друг с другом вместе. Как компании переправиться на другой берег?

Сначала на другой берег отправляются два щенка. Затем один из них возвращается и остается на первоначальном берегу, а в лодку садятся двое котят, после чего они переправляются на другой берег. На другом берегу их встречает первый щенок, садится в лодку, едет один на исходный берег, забирает с собой второго щенка и они вместе переправляются на другой берег.

Ответ:

Задание 5 #5226

В Зверополис-сити открывается новое 20-этажное здание. В лифте есть всего две кнопки: при нажатии первой лифт поднимается на 13 этажей, а при нажатии второй лифт спускается на 8 этажей. При этом если нажать первую кнопку выше 7-го этажа или вторую кнопку ниже 9-го, то лифт ломается. Как с помощью такого инновационного лифта попасть с 13-го этажа на 8-й?

Приведем последовательность этажей, начиная с 13-го и заканчивая 8-м, на которые надо ездить. При этом если следующий этаж выше текущего, то нажимать надо первую кнопку, а если выше, то вторую: \[13\rightarrow 5\rightarrow 18\rightarrow 10\rightarrow 2 \rightarrow 15 \rightarrow 7 \rightarrow 20 \rightarrow 12 \rightarrow 4 \rightarrow 17 \rightarrow 9 \rightarrow 1 \rightarrow 14 \rightarrow 6 \rightarrow 19 \rightarrow 11 \rightarrow 3 \rightarrow 16 \rightarrow 8\]

Замечание. Обратите внимание, что алгоритм единственный: с любого этажа этого здания можно поехать либо только наверх, либо только вниз, поэтому в любой момент следующий этаж определяется однозначно.

Ответ:

Задание 6 #5225

Четырем трудолюбивым бурундучкам привезли 5 четырехколесных грузовиков. К сожалению, на них до сих пор стоит летняя резина, а на дворе уже почти зима. Поэтому бурундучкам надо срочно поменять на каждом колесе резину на зимнюю. Один бурундучок меняет резину на одном колесе за один час. К сожалению, менять резину на двух или более колесах одного грузовика одновременно нельзя. Могут ли 4 бурундучка поменять резину на всех 5 грузовиках за 5 часов?

Приведем один из возможных примеров, как бурундучкам справиться с этой работой. Пронумеруем грузовики числами 1, 2, 3, 4 и 5. Расставим эти грузовики мысленно по кругу так, чтобы после пятого грузовика шел первый. Пусть за первый час бурундучки поменяют по одному колесу на грузовиках с номерами 1, 2, 3 и 4. Затем бурундучки переходят к следующим по часовой стрелке грузовикам и за второй час меняют по одному колесу на грузовиках 2, 3, 4 и 5. В третий час они меняют по одному колесу на грузовиках с номерами 3, 4, 5, 1. В четвертый час — на грузовиках с номерами 4, 5, 1 и 2, и, наконец, за пятый час они меняют колеса на грузовиках с номерами 5, 1, 2 и 3. Заметим, что над каждый грузовиком трудились ровно 4 часа. Значит, все 4 колеса бурундучки успели поменять.

Ответ: Да, могут

Задание 7 #5224

Офицер Клыкхаузер, Капитан Буйволсон, Мэр Леодор и Мисс Барашкис хотят переправиться через реку. В их распоряжении есть только двухместная лодка. К сожалению, Капитан Буйволсон слишком тяжелый, и он в лодке может поместиться только в одиночку. Из всех троих только робкая Мисс Барашкис так и не научилась управляться с лодкой, а также она боится оставаться на берегу одна. Как всем четверым переправиться через реку?

Сначала на другой берег переправляются Мэр Леодор и Офицер Клыкхаузер. Затем один из них (пусть это будет Клыкхаузер) возвращается за первый берег и забирает с собой пугливую Мисс Барашкис. Он перевозит ее на другой берег, оставляет вдвоем с Мэром Леодором, а сам отправляется на первый берег за Капитаном Буйволсоном. Капитан садится в лодку и переправляется в одиночку, оставляя Клыкхаузера на первом берегу. Как только Буйволсон прибывает на другой берег, Мэр Леодор садится в лодку и возвращается за Офицером Клыкхаузером. Вдвоем они садятся в лодку и переправляются на другой берег.

Ответ: