Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

Комбинаторика

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

H1 - Разбиение на пары

Задание 1 #6793

Добрая Гермиона дружит со всеми домовиками в Хогвартсе. На Рождество ей подарили большой мешок с конфетами. Гермиона хочет выяснить, кого больше: домовиков в Хогвартсе или конфет в мешке. Как Гермиона удовлетворить свое любопытство, не считая?

Начнем раздавать конфеты по одной домовикам. Возможны три варианта.

1) Конфеты кончились, а домовики еще остались. Тогда каждой конфете соответствует свой домовик, но не всем домовикам достались конфеты. Значит, домовиков больше, чем конфет.

2) Все домовики получили конфеты, но конфеты в мешке еще остались. Это означает, что каждому домовику соответствует своя конфета, но все равно остались лишние конфеты. Значит, конфет больше, чем домовиков.

3) Все домовики получили конфеты, и все конфеты закончились. В таком случае каждой конфете соответствует свой домовик, а каждому домовику — своя конфета. Это означает, что конфет и домовиков поровну.

Ответ:

Задание 2 #6794

В классе трансфигурации нарисована окружность. На ней отмечены \(20\) синих точек и \(1\) красная точка. Гарри посчитал количество треугольников с вершинами в синих точках, а Рон посчитал количество четырехугольников с вершинами в этих точках, у которых одна из вершин красная. У кого получилось больше фигурок?

Сопоставим каждой четверке точек, одна из которых красная, тройку, в которой присутствуют те же самые \(3\) синие точки, что и в этой четверке. Наоборот, каждой тройке синих точек сопоставим ту четверку, в которой присутствуют те же синие точки и добавляется красная точка.

Тогда мы получим соответствие между четырехугольниками, которые считал Рон, и треугольниками, которые считал Гарри. Причем каждому четырехугольнику будет соответствовать один треугольник, а каждому треугольнику — один четырехугольник. Значит, фигурок у ребят поровну.

Ответ: У мальчиков получилось поровну фигурок.

Задание 3 #6795

Усидчивый Невилл выписал все \(101\)-значные числа, состоящие только из цифр “\(1\)” и “\(2\)”. Каких чисел больше: в которых четное число единиц, или в которых нечетное число единиц?

Вновь придумаем сопоставление числам одной группы числа другой группы. На этот раз рассмотрим произвольное число, например, \(11212\ldots211\). Поменяем в нем все единицы на двойки, а все двойки на единицы. Например, из данного числа мы получим \(22121\ldots122\). Заметим, что если в числе было \(k\) единиц, то их станет \(101-k\). При этом числа \(k\) и \(101-k\) разной четности, так как их сумма нечетна. Поэтому из числа одной группы (то есть с четным числом единиц) мы получили число другой группы (то есть с нечетным числом единиц), и наоборот.

Мы снова получили соответствие, в котором каждому числу одного множества соответствует ровно одно число другого множества. При этом никаких чисел без пары не осталось. Значит, чисел в двух множествах поровну.

Ответ: Тех и других поровну.

Задание 4 #6796

У каждой волшебной совы ровно один хозяин. При этом есть волшебники, которые держат сразу несколько сов. Кого в волшебном мире больше: волшебных сов или их хозяев?

Ответ:

Задание 5 #6797

Гарри, Рон, Гермиона и Невилл отправились кататься на гиппогрифах. Всего на выбор есть 8 зверей: семеро с пестрой окраской, а еще один полностью белый. Они хотят посчитать, каких четверок гиппогрифов больше: тех, в которых есть белый гиппогриф, или тех, в которых его нет?

Ответ:

Задание 6 #6798

Гарри провел две параллельные прямые. На первой прямой он отметил \(10\) точек, а на второй — \(20\) точек. Затем Гарри провел все отрезки между точками с разных прямых, и оказалось, что никакие три отрезка не пересекаются в одной точке, отличной от вершин отрезков. После этого Рон посчитал количество точек пересечения этих отрезков, не являющихся вершинами отрезков, а Гермиона — количество четырехугольников с вершинами в отмеченных Гарри точках. Чье число получилось больше — Рона или Гермионы?

Ответ:

Задание 7 #6799

В Сладком королевстве продаются \(10\) видов сладостей. К Рождеству можно приобрести либо маленький подарок, в котором содержится \(3\) вида сладостей, либо большой подарок, в котором содержится \(7\) видов сладостей. Драко купил все возможные большие подарки, а Нотт — все возможные маленькие подарки. Кто из ребят купил больше наборов?

Ответ: