Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

Комбинаторика

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

H1 - Правило сложения и умножения

Задание 1 #4552

Джуди, Ник и Клыкхаузер собрались пить чай. К чаю у Джуди есть 10 разных пряничков, у Ника — 7 разных печенек, а у Клыкхаузера, разумеется, — 20 разных пончиков. Они договорились сложить все сладости вместе. Джуди первая выбирает, какую сладость ей взять. Сколькими способами она может выбрать себе вкусняшку?

Перед Джуди лежит 10 различных пряничков, 7 различных печенек и 20 разных пончиков, то есть всего \(10+7+20=37\) различных предметов. Она может выбрать любой один из этих 37 предметов. Значит, у нее 37 способов выбрать себе вкусняшку.

Ответ: 37

Задание 2 #4553

На следующий день Джуди, Ник и Клыкхаузер снова собрались пить чай. На этот раз у них вместе оказалось 15 разных пряничков, 15 разных печенек и 15 разных пончиков. После того, как Джуди выбрала себе сладость, Ник решил взять себе вкусняшку другого вида, не того, какой только что выбрала Джуди. Сколькими способами Ник может осуществить свое желание?

Какую бы сладость Джуди ни выбрала, она тем самым “запрещает” привередливому Нику один из видов вкусняшек. У Ника остаются еще два вида, и сладостей каждого из этих двух видов осталось по 15 штук, так как их еще никто не ел. Значит, Ник выбирает одну сладость из \(15+15=30\), поэтому у него 30 способов сделать выбор.

Ответ: 30

Задание 3 #4560

В Зверополисе начинается подготовка к новому году. Мэр Леодор и Мисс Барашкис выбирают шары для центральной елки. Мэр Леодор выбирает один из 4 цветов шара: красный, синий, зеленый или желтый. Мисс Барашкис выбирает один из видов блесток: в форме снежинок, в форме сердечек и в форме кружочков. Сколько различных вариантов украшенных цветных шаров они могут заказать?

Представим себе раскраску шара в виде таблицы \(3\times 4\). Каждую из 4 строк этой таблицы мы раскрасим в один из 4 цветов шариков: красный, синий, зеленый и желтый. Каждую из 3 строк этой таблицы мы посыплем одним из трех видов блесток: в форме снежинок, в форме сердечек и в форме кружочков. Заметим, что тогда каждая клетка этой таблицы покрашена в один из 4 цветов и посыпана одним из 3 видов блесток. При этом каждая комбинация цвет-вид блесток в этой таблице встречается, и ровно один раз: на пересечении соответствующих строки и столбца. Значит, клеток в таблице столько же, сколько возможных вариантов раскрасок. А клеток \(4\cdot 3=12\). Значит, возможных раскрасок шаров столько же, то есть 12.

Ответ: 12

Задание 4 #4554

У Ника в шкафу висит 100 различных рубашек. Каждый день он выбирает одну новую рубашку, а старую выкидывает. Сколько способов выбрать рубашку есть у Ника на пятый день?

На пятый день Ник выкинет столько рубашек, сколько уже прошло дней. А прошло 4 дня, значит, осталось \(100-4=96\) рубашек, и Ник может выбрать любую из них. Это можно сделать 96-ю способами, откуда и ответ.

Ответ: 96 способов

Задание 5 #4561

Мистер Биг выбирает себе мебель для своего рабочего кабинета. Он рассматривает 5 различных письменных столов и 7 различных видов стульев. Сколько всего различных вариантов оформить кабинет есть у Мистера Бига?

Представим все варианты оформления кабинета в виде таблицы \(7\times 5\) следующим образом. Рядом с каждой из 5 строк напишем свой вариант письменного стола, а рядом с каждым из 7 столбцов — свой вид стульев. Теперь, выбирая письменный стол, Мистер Биг тем самым выбирает строку, а выбирая вид стульев, Мистер Биг тем самым выбирает столбец. При этом в результате выбора столбца и строки автоматически определяется клетка, по которой эти строка и столбец пересекаются. Тогда на самом деле каждой паре письменный стол–комплект стульев соответствует клетка нарисованной таблицы. Значит, способов выбрать стол и стулья столько же, сколько клеток в таблице. А их \(7\cdot 5=35\), откуда и ответ.

Ответ: 35

Задание 6 #4555

Перед Ником и Джуди лежат 3 различных печеньки и 4 различных пряничка . Сначала Джуди выбирает одну из сладостей, а после этого Ник выбирает сладость того же вида, которую только что взяла Джуди. Сколькими способами Джуди и Ник могут выбрать себе пару сладостей?

Рассмотрим два случая того, какую сладость могла выбрать Джуди.

Случай 1. Предположим, что Джуди взяла печеньку. Сделать это она могла тремя способами. После чего перед Ником остаются 2 печеньки, из которых надо выбрать одну. Это можно сделать двумя способами. Получается, что если Джуди выбрала первую печеньку, то Ник может выбрать вторую или третью, если Джуди выбрала вторую печеньку, то Ник может выбрать первую или третью, и если Джуди выбрала третью печеньку, то Ник может выбрать первую или вторую печеньку. Таким образом, мы получаем \(2+2+2=6\) способов выбрать Джуди и Нику по одной печеньке.

Случай 2. Предположим, что Джуди взяла пряничек. Тогда в любом случае перед Ником остаются три пряничка на выбор, значит, он сможет свой пряничек взять 3 способами. Итак, если Джуди берет себе первый пряничек, то у Ника 3 способа выбрать себе пряник, если Джуди берет себе второй пряничек, то снова 3 способа выбрать пряничек у Ника, аналогично если Джуди берет себе третий пряничек, то у Ника опять 3 способа выбрать пряничек, и наконец если Джуди берет себе четвертый пряничек, то у Ника 3 способа выбрать себе пряничек. При этом это все разные случаи того, какой пряничек выбирала Джуди, и в зависимости от ее выбора мы посчитали, сколько способов выбрать пряничек есть у Ника. Поэтому теперь осталось все способы сложить, так как все это были разные случаи выбора пряничка Джуди. Получаем \(3+3+3+3=12\) способов выбрать по одному пряничку Джуди и Нику.

Эти количества способов, 6 и 12, представляют собой разные случаи того, какие же именно сладости берут друзья — печеньки или прянички. А так как они могут выбрать любой тип сладости, то чтобы получить все способы выбрать две сладости, эти количества способов, 6 и 12, надо сложить: \(6+12=18\), это и есть суммарное количество способов выбрать по одной сладости Джуди и Нику одинакового вида.

Ответ: 18.

Задание 7 #4556

На холодильнике Мисс Барашкис висит магнитная шахматная доска \(8\times 8\). Джуди хочет посчитать количество способов выбрать строку и столбец, а Ник — количество способов выбрать одну клетку этой доски. У кого количество способов получится больше?

Посчитаем сначала, сколько есть способов выбрать одну клетку. Всего клеток на шахматной доске \(8\cdot 8=64\), и Ник выбирает одну. Сделать это можно 64-мя способами.

Теперь поможем посчитать способы Джуди. Сначала выберем строку. Это можно сделать 8 способами. Рассмотрим мысленно 8 случаев: Джуди выбрала 1-ю строку, 2-ю строку, 3-ю строку, и т.д., 8-ю строку. В каждом из этих способов у Джуди есть 8 вариантов выбрать столбец: любой из восьми. А так как это разные случаи, то все полученные способы надо сложить. Получаем сумму \[\underbrace{8+8+\ldots+8}_{8\text{ раз}}=8\cdot 8=64.\]

Значит, у Джуди тоже получилось 64 способа выбрать строку и столбец — столько же, сколько и у Ника.

Замечание. Понять, что у Ника и Джуди получится поровну, можно и по-другому. Заметим, что каждой паре строка-столбец соответствует ровно одна клетка на пересечении этих строки и столбца. Наоборот, по каждой клетке можно восстановить пару строка-столбец, на пересечении которых она находится. Значит, на самом деле и Ник, и Джуди считают одно и то же количество, поэтому вполне естественно, что у них получается одинаковое число способов.

Ответ: Число способов у Ника и у Джуди будет одинаково