H1 - Принцип Дирихле

Задание 1 #9976

На дистанционных занятиях в “Школково” учится \(1000\) детей из \(30\) разных городов. Докажите, что найдется город, в котором не менее \(34\) человек занимаются в “Школково”.

Показать решение

Предположим, что города, в котором не менее \(34\) человек занимаются в “Школково”, не найдется. Тогда в каждом городе занимаются не более \(33\) человек. Таким образом, всего в \(30\) городах занимаются не более \(33\cdot 30=990\) человек, а на самом деле на дистанционных занятиях обучается \(1000\) человек. Мы пришли к противоречию, значит, наше первоначальное предположение было неверно. Таким образом, найдется город, в котором на дистанционный занятиях в “Школково” занимаются не менее \(34\) человек.

Ответ:

Задание 2 #9977

Можно ли написать на доску \(11\) натуральных чисел так, чтобы никакая разность между выписанными числами не делилась на \(10\)?

Показать решение

Отметим, что разность делится на \(10\) в том случае, если числа оканчиваются на одну и ту же цифру. Всего есть \(10\) цифр, и на каждую цифру может оканчиваться только одно из выписанных чисел. Значит, выписанных чисел не больше, чем цифр, то есть не больше \(10\). Поэтому указанных в условии \(11\) натуральных чисел не существует.

Ответ: Нет, нельзя.

Задание 3 #9978

Можно ли расставить \(17\) шахматных королей на шахматной доске \(8\times 8\) так, чтобы они не били друг друга?

Показать решение

Разобьем шахматную доску на квадраты \(2\times 2\). Всего получится \(16\) квадратов. Заметим, что в каждом квадрате стоит не больше одного короля, иначе бы короли из одного квадратика били друг друга. Таким образом, в \(16\) квадратиках может стоять не более \(16\) королей. Но нам нужно расставить \(17\) королей. Значит, какие-то два короля при любой расстановке все-таки будут бить друг друга.

Ответ: Нет, нельзя.

Задание 4 #9979

В команде Мстителей \(8\) героев: Железный Человек, Халк, Капитан Америка, Соколиный Глаз, Доктор Стрэндж, Тор, Человек-Паук и Черная Вдова. Докажите, что двое из них родились в один день недели.

Показать решение

Ответ:

Задание 5 #9980

В “Школково” работают \(25\) преподавателей. На ежегодном собрании они разошлись по \(6\) аудиториям. Верно ли, что в какой-то аудитории собрались хотя бы \(5\) преподавателей?

Показать решение

Ответ:

Задание 6 #9981

В “Школково” работают \(25\) преподавателей. На ежегодном собрании они разошлись по \(6\) аудиториям. Верно ли, что в какой-то аудитории собрались ровно \(5\) преподавателей?

Показать решение

Ответ:

Задание 7 #9982

Скитаясь по космосу, Енот Ракета встретил \(50\) инопланетян. Докажите, что среди них есть либо \(8\) существ, у которых ног поровну, либо \(8\) существ, у всех из которых разное число ног.

Показать решение

Ответ:

предыдущая
подтема 1 2 ... 4