Логика
Тор нарисовал на доске квадрат \(10\times 10\) и написал в каждую клетку число \(1\), \(2\) или \(3\). Локи посчитал все суммы по горизонталям, вертикалям и двум диагоналям. Докажите, что у Локи в любом случае получатся хотя бы две одинаковые суммы.
Ответ:
На доске написаны числа \(2\), \(4\), \(8\), \(16\), …, \(2^{100}\). Докажите, что разность между какими-то двумя числами делится на \(99\).
Ответ:
Для тренировки меткости Соколиный Глаз использует мишень размером \(4\text{ см}\times 4\text{ см}\). Он сделал \(15\) выстрелов. Докажите, что на мишени можно выделить квадрат \(1\text{ см}\times 1\text{ см}\), внутрь которого Соколиный Глаз не попал.
Ответ:
На следующей тренировке Соколиный Глаз использовал в качестве мишени квадрат \(10\times 10\). Он совершил \(49\) выстрелов, каждый раз стреляя в новый квадратик \(1\times 1\). Докажите, что найдутся три квадратика, образующие уголок из трех клеток, ни в одну из которых Соколиный Глаз не попал.
Ответ:
Рон поставил на шахматную доску \(8\times 8\) \(51\) ладью. Докажите, что каждая ладья бьет какую-то другую.
Предположим, что нашлась ладья, которая не бьет никакую другую. Тогда в ее строке и ее столбце не может быть других ладей. Таким образом, в строке с этой ладьей \(7\) пустых клеток, и столько же пустых клеток в том же столбце. Всего на доске хотя бы \(7+7=14\) пустых клеток. С другой стороны, по условию пустых клеток \(64-51=13\). Мы пришли к противоречию, значит, каждая ладья бьет какую-то другую.
Ответ:
Во время учебной дуэли каждый из \(10\) первокурсников колдовал заклинания в сторону пятерых товарищей, все из которых достигли цели. Докажите, что какие-то два первокурсника попали заклинаниями друг в друга.
Предположим, что никакие двое не попали друг в друга. Тогда всего было выпущено \(50\) заклинаний. С другой стороны, в каждого первокурсника могли попасть только \(4\) других первокурсника, в которых он не колдовал. Поэтому выпущенных заклинаний не больше \(4\cdot 10=40\). Получилось противоречие, значит, какие-то двое первокурсников все же попали заклинаниями друг в друга.
Ответ:
На доске написано \(11\) натуральных чисел. Докажите, что разность между какими-то двумя делится на \(10\).
Отметим сначала, что для того, чтобы разность между двумя числами делилась на \(10\), их последние цифры должны совпадать. Предположим, что никакая разность между написанными на доске числами не делится на \(10\). Тогда и последние цифры любых двух написанных чисел различны. Поэтому числа оканчиваются на \(11\) разных цифр. Но цифр всего \(10\), поэтому такое невозможно. Значит, разность между какими-то двумя числами все же делится на \(10\).
Ответ:
