Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

Логика

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

H1 - Принцип Дирихле (страница 2)

Задание 8 #9983

Тор нарисовал на доске квадрат \(10\times 10\) и написал в каждую клетку число \(1\), \(2\) или \(3\). Локи посчитал все суммы по горизонталям, вертикалям и двум диагоналям. Докажите, что у Локи в любом случае получатся хотя бы две одинаковые суммы.

Ответ:

Задание 9 #9984

На доске написаны числа \(2\), \(4\), \(8\), \(16\), …, \(2^{100}\). Докажите, что разность между какими-то двумя числами делится на \(99\).

Ответ:

Задание 10 #9985

Для тренировки меткости Соколиный Глаз использует мишень размером \(4\text{ см}\times 4\text{ см}\). Он сделал \(15\) выстрелов. Докажите, что на мишени можно выделить квадрат \(1\text{ см}\times 1\text{ см}\), внутрь которого Соколиный Глаз не попал.

Ответ:

Задание 11 #9986

На следующей тренировке Соколиный Глаз использовал в качестве мишени квадрат \(10\times 10\). Он совершил \(49\) выстрелов, каждый раз стреляя в новый квадратик \(1\times 1\). Докажите, что найдутся три квадратика, образующие уголок из трех клеток, ни в одну из которых Соколиный Глаз не попал.

Ответ:

Задание 12 #6382

На факультет Гриффиндор поступили \(13\) первокурсников. Докажите, что хотя бы двое из них родились в один месяц.

Способ 1. Предположим, что никакие двое не родились в один месяц. Тогда все \(13\) человек родились в разные месяцы, значит, всего должно существовать хотя бы \(13\) месяцев. Но месяцев всего \(12\), противоречие. Значит, какие-то двое первокурсников родились в один месяц.

Способ 2. Вновь предположим противное, то есть что никакие двое не родились в один месяц. Всего месяцев \(12\). Если в каждый месяц родилось не более одного первокурсника, то всего первокурсников не больше, чем месяцев, то есть не больше \(12\). Но по условию их \(13\), противоречие. Значит, все-таки какие-то двое первокурсников родились в один месяц.

Ответ:

Задание 13 #6383

Гарри выложил по кругу \(25\) шариков двух цветов: синего и красного. Докажите, что какие-то два соседних шарика одного цвета.

Пронумеруем места, на которых лежат шарики, номерами от \(1\) до \(25\). Предположим, что любые два соседних шарика разного цвета. Тогда цвета чередуются, и расстановка такая: …-К-С-К-С-…Таким образом, все шарики на нечетных местах одного цвета, а на четных другого. Но шарики с номерами \(1\) и \(25\) тогда одного цвета, и они лежат рядом, противоречие. Таким образом, какие-то два одноцветных шарика все-таки лежат рядом.

Ответ:

Задание 14 #6384

За круглым обеденным столом факультета Когтевран сидит \(100\) человек. Известно, что мальчиков среди них \(51\). Докажите, что какие-то два мальчика сидят друг напротив друга.

Предположим, что никакие двое мальчиков не сидят друг напротив друга. Тогда напротив каждого мальчика сидит девочка. Значит, девочек хотя бы столько же, сколько мальчиков, то есть \(51\). В сумме получается хотя бы \(51+51=102\) ученика, но по условию их всего \(100\). Мы получили противоречие, таким образом, наше предположение неверно, и какие-то двое мальчиков все-таки сидят друг напротив друга.

Ответ: