В Хогвартсе учится больше \(400\) волшебников. Докажите, что какие-то двое родились в один день.
Предположим, что никакие двое школьников не родились в один день. Тогда в каждый день родилось не больше одного школьника, значит, школьников не больше, чем дней, то есть \(366\). Но по условию в Хогвартсе учится больше \(400\) человек, противоречие. Значит, какие-то двое школьников все-таки родились в один день.
Ответ:
В Хогвартс поступают \(9\) юных волшебниц. Профессор прорицаний Трелони предсказывает, что какие-то трое из них попадут на один факультет. Обязательно ли сбудется предсказание Трелони? Напомним, что в Хогвартсе \(4\) факультета.
Предположим противное, то есть что никакие три девочки не окажутся на одном факультете. Тогда на каждом факультете окажется не более \(2\) волшебниц. Но тогда всего девочек не больше \(2\cdot 4=8\), а по условию их \(9\). Мы пришли к противоречию, значит, какие-то три волшебницы все-таки окажутся на одном факультете.
Ответ: Да, сбудется.
Рон поставил на шахматную доску \(8\times 8\) девять ладей. Докажите, что какие-то две ладьи бьют друг друга.
Предположим противное, то есть что никакие две ладьи не бьют друг друга. Тогда никакие две ладьи не стоят в одной строке. Всего строк \(8\), и в каждой из них стоит не больше одной ладьи. Тогда всего ладей не больше, чем строк, то есть не больше \(8\). Но по условию ладей \(9\), противоречие. Значит, какие-то две ладьи все-таки бьют друг друга.
Ответ:
В лаборатории профессора Снейпа хранятся \(5\) безоаров, \(7\) аконитов и \(3\) лунных камня. Гарри Поттер стащил \(11\) предметов. Докажите, что у профессора Снейпа пропал хотя бы один безоар.
Предположим, что все безоары остались нетронуты. Тогда Гарри Поттер мог взять только акониты и лунные камни. В сумме тех и других \(7+3=10\), что меньше, чем количество предметов, которые стащил Гарри. Мы получили противоречие, значит, хотя бы один безоар точно пропал.
Ответ:
Напомним, что в лаборатории профессора Снейпа хранились \(5\) безоаров, \(7\) аконитов и \(3\) лунных камня, но не так давно Гарри Поттер стащил \(11\) предметов. Докажите, что в лаборатории профессора Снейпа есть по прежнему два одинаковых предмета.
У профессора Снейпа было \(5+7+3=15\) предметов, а осталось \(15-11=4\) предмета. Предположим, что в лаборатории профессора Снейпа не осталось одинаковых предметов. Тогда у него не больше одного безоара, не больше одного аконита и не больше одного лунного камня. В сумме получается не больше трех предметов. Но как мы посчитали выше, у него осталось \(4\) предмета, противоречие. Значит, хотя бы два одинаковых предмета у профессора точно остались.
Ответ:
На доске написано \(11\) натуральных чисел. Докажите, что разность между какими-то двумя делится на \(10\).
Отметим сначала, что для того, чтобы разность между двумя числами делилась на \(10\), их последние цифры должны совпадать. Предположим, что никакая разность между написанными на доске числами не делится на \(10\). Тогда и последние цифры любых двух написанных чисел различны. Поэтому числа оканчиваются на \(11\) разных цифр. Но цифр всего \(10\), поэтому такое невозможно. Значит, разность между какими-то двумя числами все же делится на \(10\).
Ответ:
Во время учебной дуэли каждый из \(10\) первокурсников колдовал заклинания в сторону пятерых товарищей, все из которых достигли цели. Докажите, что какие-то два первокурсника попали заклинаниями друг в друга.
Предположим, что никакие двое не попали друг в друга. Тогда всего было выпущено \(50\) заклинаний. С другой стороны, в каждого первокурсника могли попасть только \(4\) других первокурсника, в которых он не колдовал. Поэтому выпущенных заклинаний не больше \(4\cdot 10=40\). Получилось противоречие, значит, какие-то двое первокурсников все же попали заклинаниями друг в друга.
Ответ:
