H1 - Принцип Дирихле (страница 3)

У профессора Снейпа было \(5+7+3=15\) предметов, а осталось \(15-11=4\) предмета. Предположим, что в лаборатории профессора Снейпа не осталось одинаковых предметов. Тогда у него не больше одного безоара, не больше одного аконита и не больше одного лунного камня. В сумме получается не больше трех предметов. Но как мы посчитали выше, у него осталось \(4\) предмета, противоречие. Значит, хотя бы два одинаковых предмета у профессора точно остались.

Ответ:

Предположим, что все безоары остались нетронуты. Тогда Гарри Поттер мог взять только акониты и лунные камни. В сумме тех и других \(7+3=10\), что меньше, чем количество предметов, которые стащил Гарри. Мы получили противоречие, значит, хотя бы один безоар точно пропал.

Ответ:

Предположим противное, то есть что никакие две ладьи не бьют друг друга. Тогда никакие две ладьи не стоят в одной строке. Всего строк \(8\), и в каждой из них стоит не больше одной ладьи. Тогда всего ладей не больше, чем строк, то есть не больше \(8\). Но по условию ладей \(9\), противоречие. Значит, какие-то две ладьи все-таки бьют друг друга.

Ответ:

Предположим противное, то есть что никакие три девочки не окажутся на одном факультете. Тогда на каждом факультете окажется не более \(2\) волшебниц. Но тогда всего девочек не больше \(2\cdot 4=8\), а по условию их \(9\). Мы пришли к противоречию, значит, какие-то три волшебницы все-таки окажутся на одном факультете.

Ответ: Да, сбудется.

Предположим, что никакие двое школьников не родились в один день. Тогда в каждый день родилось не больше одного школьника, значит, школьников не больше, чем дней, то есть \(366\). Но по условию в Хогвартсе учится больше \(400\) человек, противоречие. Значит, какие-то двое школьников все-таки родились в один день.

Ответ:

Предположим, что никакие двое мальчиков не сидят друг напротив друга. Тогда напротив каждого мальчика сидит девочка. Значит, девочек хотя бы столько же, сколько мальчиков, то есть \(51\). В сумме получается хотя бы \(51+51=102\) ученика, но по условию их всего \(100\). Мы получили противоречие, таким образом, наше предположение неверно, и какие-то двое мальчиков все-таки сидят друг напротив друга.

Ответ:

Пронумеруем места, на которых лежат шарики, номерами от \(1\) до \(25\). Предположим, что любые два соседних шарика разного цвета. Тогда цвета чередуются, и расстановка такая: …-К-С-К-С-…Таким образом, все шарики на нечетных местах одного цвета, а на четных другого. Но шарики с номерами \(1\) и \(25\) тогда одного цвета, и они лежат рядом, противоречие. Таким образом, какие-то два одноцветных шарика все-таки лежат рядом.

Ответ: