Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

Процессы

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Инвариант

Задание 1 #6651

Можно ли монетами в \(10\) и \(15\) сиклей набрать ровно \(2019\) сиклей?

Заметим, что и \(10\), и \(15\) делятся на \(5\). Поэтому любая сумма, которую мы можем ими набрать, также будет делиться на \(5\). Но число \(2019\) на \(5\) не делится, значит, набрать его этими монетами нельзя.

Ответ: Нет, нельзя.

Задание 2 #6652

Профессор Снейп написал на доске три числа: \(100\), \(200\) и \(2019\). За одну операцию он разрешает Гарри Поттеру выбрать два различных числа \(x\) и \(y\) (причем \(x>y\)) и записать вместо них числа \(x-y\) и \(2y\), а старые числа стереть. Гарри сдаст зачет по зельеварению, если получит на доске числа \(1000\), \(2000\) и \(3000\). Есть ли у Гарри Поттера шансы сдать зачет?

Способ 1. Посмотрим на сумму чисел на доске. При замене чисел \(x\) и \(y\) на числа \(x-y\) и \(2y\), их сумма не меняется: \(x-y+2y=x+y\). Поэтому сумма всех чисел на доске так и останется равной \(100+200+2019=2319\). Значит, получить числа \(1000\), \(2000\) и \(3000\), имеющие сумму \(1000+2000+3000=6000\), нельзя.

Способ 2. Посмотрим на четность чисел на доске. Изначально два числа четные и одной нечетное. Покажем, что всегда на доске останутся два четных числа и одной нечетное. Для этого достаточно доказать, что за один ход ничего не меняется. Если Гарри выбирает два четных числа, то на доске появляются два четных числа, и исчезают также два четных. Если Гарри выбирает четное и нечетное числа, то на доске снова появляются четное и нечетное числа (разность будет нечетной, а вот удвоенное меньшее число — четным). Поэтому на доске не могут оказаться три четных числа, значит, Гарри указанным способом зачет не сдаст.

Ответ: Нет, никаких шансов.

Задание 3 #6653

Шахматный слон ходит по диагонали на любое число клеток. Может ли за \(100\) ходов слон с нижней левой угловой клетки шахматной доски \(8\times 8\) дойти до верхней левой угловой клетки?

Рассмотрим раскраску шахматной доски в черный и белый цвета. При такой раскраске слон своим ходом не меняет цвет клетки, на которой он стоит. С другой стороны, цвета нижней левой угловой клетки и верхней левой угловой клетки отличаются. Значит, шахматный слон не может перейти на указанную клетку ни за какое число ходов.

Ответ: Нет, не может.

Задание 4 #6654

Перед Роном лежит кучка из \(100\) камней. За одно действие он может разделить одну кучку на две или объединить две кучки в одну. Может ли Рон такими действиями получить \(5\) кучек по \(25\) камней?

Ответ:

Задание 5 #6655

Перед Роном лежат две кучки камней: в одной \(30\) камней, а во второй — \(70\). Заклинание “Добавляйтус” увеличивает количество камней в одной куче на \(6\), но уменьшает количество камней в другой куче на \(1\). А заклинание “Забирайтус” уменьшает количество камней в одной куче на \(3\), а в другой — на \(7\). Оба заклинания срабатывают только в случае, когда в кучах достаточно камней, чтобы их количество можно было уменьшить. Может ли Рон такими заклинаниями получить в одной куче \(71\) камень, а в другой — \(53\)?

Ответ:

Задание 6 #6656

Гарри, Рон и Гермиона учили новые заклинания. Перед этим они купили шоколадных лягушек и договорились, что тот, кто первым учится заклинанию, получает \(5\) лягушек, второй — \(3\) лягушки, а третий — две лягушки. Через некоторое время оказалось, что у всех ребят по \(25\) лягушек, при этом никто не учил заклинания одновременно. Докажите, что ребята ошиблись при выдаче лягушек.

Ответ:

Задание 7 #6657

Рон решил научить \(25\) шоколадных лягушек, полученных им в прошлой задаче, играть в шахматы. Для этого он взял доску \(5\times 5\) и посадил в каждую клетку по лягушке. По его команде каждая лягушка должна перепрыгнуть в соседнюю клетку. Докажите, что какие-то две лягушки обязательно окажутся в одной клетке.

Ответ: