Арифметика
Докажите, что последняя цифра суммы нескольких чисел зависит только от последних цифр самих чисел. То есть чтобы найти последнюю цифру суммы, достаточно смотреть только на последние цифры слагаемых.
Сложим числа столбиком. Последняя цифра суммы зависит только от последнего столбика. А в этом столбике записаны только последние цифры слагаемых, значит, только от них и зависит последняя цифра.
Ответ:
Делится ли число \(11\cdot 21\cdot 31 \cdot 41 \cdot 51-1\) на \(10\)?
Последняя цифра произведения зависит только от последней цифры сомножителей. Поэтому последняя цифра произведения \(11\cdot 21 \cdot 31 \cdot 41 \cdot 51\) такая же, как у произведения \(1\cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1\), то есть равна 1. Поэтому разность оканчивается на 0. Значит, это число делится на 10.
Ответ: Да, делится.
Найдите все натуральные числа, которые больше своей цифры ровно в \(5\) раз.
Так как число больше цифры в \(5\) раз, то оно делится на \(5\). А число, делящееся на \(5\), оканчивается либо на \(0\), либо на \(5\). Если число оканчивается на \(0\), то оно в \(5\) раз больше \(0\), значит, само равно \(0\), но число \(0\) не натуральное. Если же число оканчивается на \(5\), то само оно в \(5\) раз больше, чем \(5\), то есть равно \(25\).
Ответ: 25.
Какой цифрой оканчивается произведение всех двузначных чисел?
Среди двузначных чисел есть числа, оканчивающиеся на \(0\), например, \(10\). Если мы перемножим несколько чисел, одно из которых оканчивается на \(0\), то результат будет оканчиваться также на \(0\).
Ответ: 0.
Какой цифрой оканчивается сумма всех трехзначных чисел?
Разобьем все трехзначные числа на десятки подряд идущих. Рассмотрим один десяток. В этом десятке числа оканчиваются на \(0\), \(1\), \(2\), …, \(9\). Последняя цифра суммы в этом десятке зависит только от последних цифр самих чисел. Поэтому сумма оканчивается на ту же цифру, что и \(0+1+2+\ldots+9=45\), то есть на \(5\).
Итак, в каждом десятке сумма всех чисел оканчивается на \(5\). Поэтому вместо того, чтобы складывать все трехзначные числа и честно находить последнюю цифру, мы можем сложить только пятерки в количестве, равном количеству десятков. Трехзначных чисел, как мы считали в предыдущих уроках, \(900\), поэтому десятков \(900:10=90\). Значит, мы должны сложить \(90\) пятерок. Но это то же самое, что умножить \(5\) на \(90\). Результат оканчивается на \(0\), значит, и сумма всех трехзначных чисел оканчивается на \(0\).
Ответ: 0.
На арифмантике юным волшебникам задали перемножить первые сто простых чисел, к результату прибавить \(2019\) и найти последнюю цифру полученной суммы. Сильная волшебница Гермиона справилась с заданием с помощью магии, не перемножая числа. Какой ответ у нее получился?
Заметим, что среди первых сто простых чисел есть числа \(2\) и \(5\), поэтому произведение ста простых чисел делится и на \(2\), и на \(5\). Тогда это произведение делится на \(10\), значит, оканчивается на \(0\). Последняя цифра суммы зависит только от последних цифр слагаемых, поэтому цифра такая же, как при сложении \(0\) и \(9\), то есть \(9\).
Ответ: 9.
У Гарри и Рона есть по \(9\) карточек с цифрами от \(1\) до \(9\). Они составляют из этих карточек число. Своим ходом нужно положить одну из своих карточек слева или справа от уже имеющегося числа. Игра заканчивается, когда получилось \(18\)-значное число, то есть когда все карточки выложены на стол. Если получившееся число делится на \(5\), то побеждает Рон, в противном случае побеждает Гарри. Начинает Гарри, кладя любую из своих карточек на стол. Кто из мальчиков может выиграть независимо от действий соперника?
Заметим, что Рон сделает последних ход в этой игре, так как он ходит вторым, а ходов Гарри и Рон сделают поровну. Покажем, как на месте Рона получить последним ходом число, делящееся на \(5\). Прибережем карточку с цифрой \(5\) до последнего хода, а остальными карточками будем ходить как угодно. Последним же ходом положим карточку \(5\) справа от уже имеющегося числа. Таким образом, полученное \(18\)-значное число будет оканчиваться на \(5\), а значит и делиться на \(5\). Значит, Рон победит.
Ответ: Рон.
