H1 - Признаки делимости на 2 и 5 (страница 2)

Посмотрим на момент, когда Гарри умножает свое число на \(10\). После этого число точно оканчивается на \(0\). После прибавления числа \(4\) результат оканчивается на \(4\). Далее мы умножаем число на \(3\). Последняя цифра результата зависит только от последней цифры умножаемого числа, поэтому эта цифра такая же, как если бы мы умножили на \(3\) число \(4\). Значит, последняя цифра будет равна \(2\). Если теперь от результата отнять \(5\), то последняя цифра результата опять же зависит только от последней цифры уменьшаемого, значит, она такая же, как если бы мы отнимали \(5\) из числа \(12\). Поэтому последняя цифра результата будет всегда равна \(7\), эту цифру и называет Драко.

Ответ:

Рассмотрим первые пять из этих семи чисел. Заметим, что разности между ними не меньше \(1\) и не больше \(4\), то есть не делятся на \(5\). Значит, эти числа дают разные остатки при делении на \(5\). Но так как чисел \(5\) штук, и остатков тоже \(5\), то эти пять чисел дают все возможные остатки при делении на \(5\), в том числе остаток \(0\). Значит, среди любых пяти последовательных чисел есть число, делящееся на \(5\). Тогда и среди семи последовательных чисел тем более есть число, делящееся на \(5\). Поэтому их произведение должно делиться на \(5\). Но число \(123456789101112\) не делится на \(5\), так как заканчивается не на \(0\) и не на \(5\), противоречие.

Ответ: Нет, не может.

Во-первых, надо вычеркнуть все четные числа, так как иначе результат будет четным, а значит, он не будет оканчиваться на нечетную цифру \(9\). Во-вторых, надо вычеркнуть все числа, оканчивающиеся на \(5\), иначе результат будет делиться на \(5\), значит, оканчиваться либо на \(5\), либо на \(0\), но никак не на \(9\).

Посчитаем сначала количество четных чисел от \(1\) до \(2029\). Это числа \(2\), \(4\), …, \(2028\). Поделим каждое число на \(2\), тогда их количество не изменится. Получим числа \(1\), \(2\), …, \(1014\), коих ровно \(1014\) штук, значит, четных чисел от \(1\) до \(2029\) тоже \(1014\).

Теперь считаем количество чисел от \(1\) до \(2029\), оканчивающихся на \(5\). В каждом десятке такое число ровно одно, десятков от \(1\) до \(2000\) всего \(2000:10=200\), и еще остались числа \(2005\), \(2015\) и \(2025\). Всего получилось \(203\) числа. Если сложить их с количеством четных, получится \(1014+203=1217\) чисел, которые точно надо вычеркнуть.

Объясним, почему все остальные числа можно оставить. В каждом десятке остались числа, оканчивающиеся на \(1\), \(3\), \(7\) и \(9\). Произведение четырех таких чисел оканчивается всегда на \(9\). Поэтому произведение чисел в каждом десятке оканчивается на \(9\).

Разобьем первые \(200\) десятков на пары. В каждой паре произведение будет оканчиваться на ту же цифру, что и \(9\cdot 9=81\), то есть на \(1\). Перемножая много чисел, оканчивающихся на \(1\), мы все равно будем получать число, оканчивающееся на \(1\). Значит, произведение оставшихся чисел до \(2000\) равно \(1\).

Остались еще три полных десятка. В каждом из них произведение оканчивается на \(9\), поэтому произведение оставшихся чисел будет оканчиваться на ту же цифру, что и число \(1\cdot 9 \cdot 9 \cdot 9=729\), то есть на \(9\). Значит, произведение всех оставшихся чисел после вычеркивания четных и делящихся на \(5\) оканчивается на \(9\). Поэтому их смело можно оставлять.

Ответ: Все четные и делящиеся на 5. Таких чисел 1014 + 203 = 1217.

Способ 1. Так как десятизначные числа, перемножаемые Гарри, состоят только из цифр \(1\) и \(6\), то и оканчиваются они только на \(1\) или \(6\). Но числа, оканчивающиеся на \(1\) и \(6\), дают остаток \(1\) при делении на \(5\). Значит, Гарри перемножал числа, дающие остаток \(1\) при делении на \(5\). Тогда и произведение дает остаток \(1\) при делении на \(5\). Поэтому после вычитания \(1\) из произведения мы получим число, делящееся на \(5\). А так как результат больше 5, то быть простым и делиться на 5 он не может.

Способ 2. Заметим, что хотя бы одно число, которое перемножал, заканчивается на 6. Так как умножать мы можем в любом порядке, результат не изменится, будем умножать именно это число на остальные последовательно. Последняя цифра произведения зависит только от последних цифр сомножителей. Но \(6\cdot 1\) оканчивается на \(6\), и \(6\cdot 6\) также оканчивается на \(6\). Значит, произведение всегда будет оканчиваться на \(6\). Тогда после вычитания из произведения числа \(1\) результат будет оканчиваться на \(5\). Но число, оканчивающееся на \(5\), делится на \(5\). И так как результат больше \(5\), то он не может быть простым.

Ответ: Нет, не может.