Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

Логика

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

H1 - Рыцари и Лжецы

Задание 1 #6342

Однажды на остров проник вражеский шпион. Чтобы найти его, на всеобщем собрании каждый житель сказал, кем он является — эльфом или троллем. После того, как шпион произнес “Я тролль!” его и вычислили. Как жителям острова это удалось?

Никакой житель острова не может произнести фразу “Я тролль!”: эльф в таком случае солгал бы, а тролль, наоборот, сказал бы правду, чего не может быть. Значит, именно вражеский лазутчик сказал “Я тролль!”

Ответ:

Задание 2 #6343

Встретились два жителя острова. Первый сказал: “По крайней мере один из нас эльф”. Второй ответил: “Ты тролль!” Кто из них кто?

Один островитянин может заявить другому “Ты тролль!” в том и только в том случае, когда они разного типа. Поэтому один из них эльф, а другой — тролль. Тогда фраза “По крайней мере один из нас эльф” является верной. Значит, именно первый житель эльф, а второй — тролль.

Ответ: Первый — эльф, второй — тролль.

Задание 3 #6344

В компании из нескольких островитян каждый заявил остальным: “Вы все тролли!” Сколько эльфов могло быть среди них?

Предположим, что среди собравшихся нет ни одного эльфа. Тогда утверждение любого из островитян “Вы все тролли!” верно, но произнесено оно троллем. такого быть не может, значит, среди островитян есть хотя бы один эльф.

Рассмотрим этого эльфа. Он говорит правду и заявляет, что все остальные островитяне тролли. Значит, он единственный эльф в этой компании.

Ответ: 1 эльф.

Задание 4 #6345

Однажды островитянин Толя сказал: “Вчера мой друг-островитянин сказал, что он тролль”. Кем является сам Толя?

Ни один островитянин не мог назвать себя троллем. Поэтому утверждение Толи точно неверно. Значит, Толя тролль.

Ответ: Троллем.

Задание 5 #6346

Однажды встретились два островитянина. Первый сказал второму: “По крайней мере один из нас — тролль”. Можно ли только по этой фразе определить, кто кем является?

Предположим, что произнесенная фраза неверна. Но тогда сказать ее мог только тролль, и мы получаем противоречие, ведь тогда тролли все-таки есть. Значит, произнесенная фраза верна. Поэтом произнес ее эльф. Но так как фраза верна, то второй должен быть троллем. Итак, произнесший фразу эльф, а собеседник — тролль.

Ответ: Да, можно.

Задание 6 #6404

Первый островитянин говорит второму: “Я тролль или ты эльф”. Кто из островитян кто?

Фраза “Я тролль или ты эльф” может быть неверна только в одном случае: если ее произносящий не тролль, а его собеседник не эльф. Но в таком случае произносящий должен быть эльфом, а соврать он не может. Значит, произнесенная фраза верна, и сказавший ее эльф. Тогда часть фразы “Я тролль” неверна, поэтому должна быть верна фраза “ты эльф”. Таким образом, оба островитянина — эльфы.

Ответ: Оба эльфы.

Задание 7 #6348

В круг встали \(10\) островитян. Каждый из них заявил, что следующие четверо после него — тролли. Сколько всего троллей среди них?

Во-первых отметим, что все собравшиеся не могут быть троллями: тогда каждый из них сказал бы правду. Значит, среди них есть эльф. Рассмотрим одного из эльфов, вставших в круг, и назовем первым, остальных островитян также пронумеруем по часовой стрелке. Чтобы произнесенная первым фраза была верна, следующие четверо, то есть островитяне со \(2\) по \(5\), тролли.

Далее, после второго островитянина следующие трое по часовой стрелке — тролли. Поэтому, чтобы высказывание второго островитянина было неверным, шестой островитянин должен быть эльфом. Тогда следующие четверо после шестого островитянина опять же тролли. Итого эльфами являются первый и шестой, а остальные — тролли. Нетрудно убедиться, что в этом случае все собравшиеся сделали высказывания согласно своему мировоззрению: эльфы сказали правду, а тролли солгали.

Ответ: 8 троллей.