Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

Логика

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

H1 - Рыцари и Лжецы (страница 2)

Задание 8 #6349

Вождь спросил у четырех жителей острова: “Сколько эльфов среди вас?” Первый ответил: “Все мы тролли”, второй: “Среди нас ровно один тролль”, третий: “Среди нас ровно два тролля”, а четвертый: “Я ни разу не солгал и сейчас не лгу”. Кем является четвертый житель?

Рассмотрим первого жителя. Если бы он был эльфом, то фраза “Все мы тролли” была бы ложной, и получается, что эльф соврал, чего быть не может. Значит, первый житель тролль.

Посмотрим на фразы второго и третьего жителей. По крайней мере одна из этих фраз неверна, значит, по крайней мере один из них тролль. Значит, вместе с первым уже получилось хотя бы два тролля, поэтому фраза второго жителя неверна, и тот тролль. Итак, второй житель тоже тролль.

Далее отдельно разберем два случая.

Случай 1. Третий житель все-таки эльф. Тогда в компании два тролля, и мы уже обоих троллей знаем: это первый и второй жители. Поэтому четвертый житель эльф.

Случай 2. Третий житель тролль. Вернемся тогда к фразе первого жителя: “Все мы тролли.” Так как он сам тролль, то эта фраза неверна. Значит, среди них должен быть эльф, и им может быть только последний, четвертый житель. В этом случае мы тоже получили, что четвертый житель эльф.

Итак, вне зависимости от случая, четвертый житель — эльф.

Замечание. Обратите внимание, что оба случая возможны, то есть данная ситуация бывает ровно в двух случаях: когда первый и второй тролли, четвертый — эльф, а третий может быть как эльфом, так и троллем.

Ответ: Эльф.

Задание 9 #6350

В течение одного вечера в дом заходили \(20\) жителей острова, и каждый из них (кроме первого) записал на специальном листе бумаги, кто вошел в дом перед ним — эльф или тролль. Если верить всем записям, то в дом входили только тролли. Сколько на самом деле троллей входили в этот дом?

Заметим, что если жители житель острова говорит или пишет про другого, что тот тролль, то эти двое островитян разного типа. Значит, эльфы и тролли, входящие в дом, чередовались. Таким образом, при четном количестве жителей троллей ровно половина, то есть \(10\).

Ответ: 10

Задание 10 #6351

Все жители острова прошли социальный опрос. Некоторые из них заявили, что на острове четное число эльфов, а остальные — что на острове нечетное число троллей. Может ли число жителей острова быть равно 2019? Известно, что хотя бы один эльф и хотя бы один тролль на острове есть.

Заметим, что если два жителя ответили одно и то же, то они одного типа: либо оба эльфы, либо оба тролли. Так как на острове есть и эльфы, и тролли, то все эльфы сказали одно, а тролли — другое. Поэтому одно из утверждений верное, а другое — неверное. Значит, количество эльфов и количество троллей одной четности, поэтому общее количество жителей четно.

Ответ: Нет, не может.

Задание 11 #6352

\(20\) островитян приехали на турнир по настольным играм. В первый день турнира все собравшиеся сели за круглый стол, и перед началом каждый заявил: “Оба моих соседа тролли”. Во второй день один островитянин заболел, и за круглый стол сели только \(19\) игроков. На этот раз каждый сказал: “Раса обоих моих соседей отличается от моей”. Кто заболел: эльф или тролль?

Рассмотрим рассадку аборигенов во второй день. Рядом с каждым эльфом сидят два тролля. Более того, ни с одним из этих троллей никакие другие эльфы рядом не сидят, иначе он скажет правду. Отсюда следует, что на каждого эльфа приходится не менее двух троллей, поэтому эльфов не больше трети от собравшихся, значит, не больше \(6\).

В первый же день никакие три тролля не могут сидеть подряд. Рассмотрим одного эльфа и любого его соседа. Всех остальных разобьем на тройки подряд сидящих. В каждой такой тройке сидит хотя бы один эльф. Значит, всего эльфов не меньше \(7\). Таким образом, во второй день эльфов было меньше, чем в первый. Поэтому заболел эльф.

Ответ: Эльф.

Задание 12 #6702

По кругу сидят \(30\) островитян. Каждый произнес такую фразу: “Мой сосед справа — эльф.” Сколько эльфов могло быть в этом круге?

Рассмотрим в круге эльфа, если такой, конечно, там есть. Тогда его правый сосед действительно эльф. Следующий справа — снова эльф, и так далее. В итоге мы получаем, что все сидящие в круге эльфы, и такой случай действительно подходит. Остался единственный вариант, когда эльфов нет вообще и все сидящие в круге — тролли. И такой вариант тоже подходит, так как тогда все тролли действительно солгут. Значит, возможны два варианта: все сидящие в круге эльфы и все сидящие в круге тролли. Поэтому эльфов могло быть \(0\) или \(30\).

Ответ: 0 или 30.

Задание 13 #6703

На экзамен по прорицаниям к профессору Трелони пришло \(13\) юных волшебников. Перед экзаменом профессор попросила каждого сделать какое-нибудь предсказание, кто сдаст экзамен. Все сделали одно и то же предсказание: “Все, кроме, возможно, меня и моих соседей, не сдадут экзамен”. В итоге оказалось, что предсказание оказалось верным в точности у тех, кто сдал экзамен. Сколько человек в тот день сдали экзамен?

Сразу отметим, что сдавшие экзамен есть, ведь если бы никто не сдал экзамен, то все предсказания оказались бы верны, чего не может случиться у тех, кто не сдал экзамен. Поэтому мы можем рассмотреть того, кто сдал экзамен, назовем его Флоренц. Все, кроме него и, возможно, двух его соседей, экзамен не сдали, а сам он сдал. Поэтому осталось лишь понять, сдали ли экзамен соседи.

Заметим, что эти соседи говорят друг про друга, что их оппонент экзамен не сдаст. Поэтому оба сдать экзамен они не могут. Значит, один из них все-таки экзамен не сдал. Но тогда его оппонент верно сказал, что все, кроме, возможно, него самого и соседей экзамен не сдали. Таким образом, из двух соседей Флоренца ровно один экзамен сдаст. Поэтому всего сдавших экзамен двое.

Ответ: 2 человека.

Задание 14 #6704

По кругу стоят \(30\) островитян. Каждый сказал: “Среди моих соседей нечетное число эльфов”. Сколько эльфов может быть в этом круге?

Рассмотрим одного эльфа, если такой есть. По условию, рядом с ним стоит нечетное число эльфов. Всего у него два соседа, и единственное нечетное число эльфов, которое может рядом с ним стоять, — \(1\) эльф. Значит, рядом с ним с одной стороны стоит эльф, а с другой — тролль. То же верно для каждого эльфа в кругу. Поэтому все эльфы стоят парами: один эльф стоять не может, так как тогда рядом с ним будет четное число эльфов, а именно \(0\), а если подряд стоят больше двух эльфов, то рядом с не крайними эльфами стоят \(2\) эльфа, что опять же не является нечетным числом.

Теперь посмотрим на какую-то группу из двух эльфов и разберемся, сколько троллей может стоять после них. Один тролль там обязательно стоит, так как больше двух эльфов подряд, как было доказано выше, стоять не может. Рассмотрим этого тролля. Рядом с ним уже стоит один эльф. Если с другой стороны будет стоять тролль, то рядом с этим эльфом будет стоять ровно \(1\) эльф, то есть нечетное число эльфов, и тогда тролль скажет правду. Поэтому с другой стороны стоит эльф. Значит, пары эльфов разделены группами по одному троллю. Тогда мы получаем единственную возможную расстановку: ЭЭТЭЭТЭЭТ…. Отметим, что так как общее число островитян в кругу делится на \(3\), то такая расстановка действительно возможна, получается \(10\) групп по \(3\) островитянина: два эльфа и тролль. В таком случае эльфов \(2\cdot 10=20\).

Вспомним, что все эти рассуждения проходили в предположении, что в круге есть хотя бы один эльф. Если предположение неверно, то в кругу стоят одни тролли. И такой случай также подходит: тогда каждый эльф стоит рядом с \(0\) эльфов, а \(0\) — четное число. Значит, все тролли врут, и все сходится. В таком случае эльфов \(0\).

Ответ: 0 или 20.