Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

Логика

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

H1 - Рыцари и Лжецы (страница 2)

Задание 8 #6349

Вождь спросил у четырех жителей острова: “Сколько эльфов среди вас?” Первый ответил: “Все мы тролли”, второй: “Среди нас ровно один тролль”, третий: “Среди нас ровно два тролля”, а четвертый: “Я ни разу не солгал и сейчас не лгу”. Кем является четвертый житель?

Рассмотрим первого жителя. Если бы он был эльфом, то фраза “Все мы тролли” была бы ложной, и получается, что эльф соврал, чего быть не может. Значит, первый житель тролль.

Посмотрим на фразы второго и третьего жителей. По крайней мере одна из этих фраз неверна, значит, по крайней мере один из них тролль. Значит, вместе с первым уже получилось хотя бы два тролля, поэтому фраза второго жителя неверна, и тот тролль. Итак, второй житель тоже тролль.

Далее отдельно разберем два случая.

Случай 1. Третий житель все-таки эльф. Тогда в компании два тролля, и мы уже обоих троллей знаем: это первый и второй жители. Поэтому четвертый житель эльф.

Случай 2. Третий житель тролль. Вернемся тогда к фразе первого жителя: “Все мы тролли.” Так как он сам тролль, то эта фраза неверна. Значит, среди них должен быть эльф, и им может быть только последний, четвертый житель. В этом случае мы тоже получили, что четвертый житель эльф.

Итак, вне зависимости от случая, четвертый житель — эльф.

Замечание. Обратите внимание, что оба случая возможны, то есть данная ситуация бывает ровно в двух случаях: когда первый и второй тролли, четвертый — эльф, а третий может быть как эльфом, так и троллем.

Ответ: Эльф.

Задание 9 #6350

В течение одного вечера в дом заходили \(20\) жителей острова, и каждый из них (кроме первого) записал на специальном листе бумаги, кто вошел в дом перед ним — эльф или тролль. Если верить всем записям, то в дом входили только тролли. Сколько на самом деле троллей входили в этот дом?

Заметим, что если жители житель острова говорит или пишет про другого, что тот тролль, то эти двое островитян разного типа. Значит, эльфы и тролли, входящие в дом, чередовались. Таким образом, при четном количестве жителей троллей ровно половина, то есть \(10\).

Ответ: 10

Задание 10 #6351

Все жители острова прошли социальный опрос. Некоторые из них заявили, что на острове четное число эльфов, а остальные — что на острове нечетное число троллей. Может ли число жителей острова быть равно 2019? Известно, что хотя бы один эльф и хотя бы один тролль на острове есть.

Заметим, что если два жителя ответили одно и то же, то они одного типа: либо оба эльфы, либо оба тролли. Так как на острове есть и эльфы, и тролли, то все эльфы сказали одно, а тролли — другое. Поэтому одно из утверждений верное, а другое — неверное. Значит, количество эльфов и количество троллей одной четности, поэтому общее количество жителей четно.

Ответ: Нет, не может.

Задание 11 #6352

\(20\) островитян приехали на турнир по настольным играм. В первый день турнира все собравшиеся сели за круглый стол, и перед началом каждый заявил: “Оба моих соседа тролли”. Во второй день один островитянин заболел, и за круглый стол сели только \(19\) игроков. На этот раз каждый сказал: “Раса обоих моих соседей отличается от моей”. Кто заболел: эльф или тролль?

Рассмотрим рассадку аборигенов во второй день. Рядом с каждым эльфом сидят два тролля. Более того, ни с одним из этих троллей никакие другие эльфы рядом не сидят, иначе он скажет правду. Отсюда следует, что на каждого эльфа приходится не менее двух троллей, поэтому эльфов не больше трети от собравшихся, значит, не больше \(6\).

В первый же день никакие три тролля не могут сидеть подряд. Рассмотрим одного эльфа и любого его соседа. Всех остальных разобьем на тройки подряд сидящих. В каждой такой тройке сидит хотя бы один эльф. Значит, всего эльфов не меньше \(7\). Таким образом, во второй день эльфов было меньше, чем в первый. Поэтому заболел эльф.

Ответ: Эльф.

Задание 12 #6712

Кроме эльфов и троллей, на острове появились гномы. Гномы всегда говорят правду другим гномам и врут эльфам, а эльфы в свою очередь стали отвечать тем же: говорят правду другим эльфам и врут гномам. В отряде сражаться с троллями собралось \(30\) бойцов, каждый — эльф или гном. Бойцы встали в круг, и каждый произнес своему соседу справа: “Ты эльф” или “Ты гном”. Первых фраз было сказано на \(4\) меньше, чем вторых. Сколько эльфов в отряде?

Ответ:

Задание 13 #6711

В парламенте острова эльфов и троллей заседает \(101\) депутат. В целях сокращения бюджета было решено исключить одного депутата из состава. Но каждый депутат заявил, что если его исключить, среди оставшихся островитян останется больше троллей, чем эльфов. Сколько эльфов и троллей изначально было в парламенте?

Ответ:

Задание 14 #6710

За круглым столом сидят \(10\) островитян. Двое заявили: “Оба моих соседа тролли”, а остальные сказали: “Оба моих соседа — эльфы”. Сколько эльфов могло быть среди них?

Ответ: