Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

Арифметика

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

H1 - Эффект плюс-минус один

Основное отличие задач олимпиадной тематики от обычных школьных — в них нет четкого алгоритма решения, известного заранее, его необходимо придумать. В задачах речь пойдет о так называемом эффект плюс-минус один. Он возникает, когда количество искомых предметов несколько отличается от числа, которое мы хотим назвать сходу.

Задание 1 #4431

В первый рабочий день Зайка Джуди отправилась выписывать дорожные штрафы. Штрафы нумеруются натуральными числами, начиная с 1. Джуди заметила, что после обеда она выписала штрафы с номерами от 125 до 200. Сколько штрафов выписала Джуди после обеда?

Способ 1. Заметим сначала, что всего за рабочий день ответственная Джуди выписала 200 штрафов с номерами от 1 до 200. При этом до обеда она выписала штрафы с номерами от 1 до 124, то есть 124 штрафа. Значит, после обеда она выписала все остальные штрафы. Их количество мы найдем как разность между общим числом штрафов и количеством штрафов, выписанных до обеда, то есть \(200-124=76\).

Способ 2. Попросим Лиса Ника помочь Джуди. Пусть Ник после обеда выписывает штрафы тем же машинам, что и Джуди, но нумеруя свои штрафы начиная с 1. Тогда каждый номер штрафа Ника будет на 124 меньше, чем номер такого же штрафа Джуди. Значит, последний выписанный Ником штраф будет иметь номер \(200-124=76\). Поэтому Ник выпишет 76 штрафов, и столько же выпишет Джуди.

Ответ: 76.

Задание 2 #4432

Лис Ник, поедая мороженое, со скуки начал считать проходящих мимо мышат. У первого мышонка на футболке был написан номер 34, у второго — 35, у следующего — 36, и т.д., у последнего — 123. Сколько мышат насчитал Ник?

Способ 1. Представим на секунду, что Ник начал бы считать мышат, начиная с первого. Тогда он, разумеется, насчитал бы 123 мышонка. Но по условию Ник начал считать мышат с 34-го, то есть первых 33 мышат он пропустил. Значит, Ник насчитал \(123-33=90\) мышат.

Способ 2. Будем выписывать номера мышат в блокнот. При этом давайте из всех номеров мышат вычтем 33 для того, чтобы у первого выписанного мышонка был номер 1. Тогда в блокноте будет выписано несколько подряд идущих чисел. Последнее выписанное число равно \(123-33=90\), поэтому в блокнот выписано 90 чисел. Значит, столько же мышат насчитал Ник.

Ответ: 90.

Задание 3 #4433

Во время первого дежурства Зайке Джуди и ее напарнику Лису Нику было поручено проверить районы Зверополиса с номерами от 20 до 136. Они решили разделиться, и Джуди отправилась во все районы с четными номерами (то есть 20, 22, …, 136), а Ник — во все районы с нечетными номерами (то есть 21, 23, …, 135). Сколько районов посетит каждый из напарников?

Сначала посчитаем, во скольких районах побывает Джуди. Разделим все номера районов на 2 и напишем их в блокнот, от этого количество чисел, которое нам и нужно найти, не изменится. При этом получатся числа 10, 11, …, 68. Теперь количество чисел найти намного проще! Если бы были выписаны числа 1, 2, …, 68, то их было бы 68, но на самом деле первые 9 чисел не выписаны, значит, выписанных чисел на 9 меньше, то есть \(68-9=59\).

Теперь поможем Нику. Вычтем из всех номеров по числу 19 и выпишем их на доску. Получим числа 2, 4, 6, …, 116. Затем разделим каждый номер на 2. Получим числа 1, 2, 3, …, 58. Количество чисел не менялось, при этом в итоге получилось 58 чисел. Значит, Ник обойдет 58 районов.

Замечание. После того, как мы нашли количество районов, в которых побывает Джуди (а именно 59), районы Ника можно было посчитать еще и так. Сопоставим каждому району, в которых побывает Ник, район с номером на 1 меньше. Таким образом, получатся пары (20, 21), (22, 23), и т.д. Но у Джуди остался еще один район с номером 136, которому ничего не будет сопоставлено! Значит, хитрый Ник посетит на один район меньше, то есть 58.

Ответ: Ник посетит 58 районов, а Джуди — 59.

Задание 4 #4434

Трудолюбивые бурундучки пилят очень длинное бревно. Они сделали 20 распилов. Сколько маленьких бревнышек у них получилось?

Способ 1. Будем проводить распилы по очереди. Заметим, что после очередного распила количество частей увеличивается на 1. Перед распилами была всего одна часть, значит, после 20 распилов будет \(1+20=21\) частей.

Способ 2. Нарисуем бревно и отметим на нем 20 будущих распилов. От каждого распила проведем стрелочку к бревну справа от него. Заметим, что всем бревнам, кроме самого левого, будет сопоставлен свой распил. Значит, бревен ровно на 1 больше, чем распилов, то есть \(1+20=21\).

Ответ: 21 бревнышко.

Задание 5 #4435

Трудолюбивые бурундучки закрепили очень-очень длинное бревно с двух сторон. После нескольких распилов 30 поленьев упали, а два крайних так и остались закрепленными. Сколько всего распилов было сделано?

Посчитаем общее количество бревнышек после всех распилов. Так как 30 поленьев упали, а еще два остались, то их \(30+2=32\). Распилов же при этом на 1 меньше, потому что после каждого распила количество частей увеличивается на одну, а изначально была всего одна часть. Поэтому распилов \(32-1=31\).

Ответ: 31

Задание 6 #4436

Трудолюбивые бурундучки пилили несколько бревен. После 20 распилов получилось 26 частей. Сколько бревен изначально было у бурундучков?

Заметим, что при очередном распиле количество бревен увеличивается ровно на 1. Значит, после 20 распилов количество бревен увеличилось на 20 по сравнению с изначальным. Это значит, что исходно у бурундучков было \(26-20=6\) бревен.

Ответ: 6

Задание 7 #4437

Трудолюбивые бурундучки хотят построить себе деревянный дом. Они посчитали, что для этого им понадобится ровно 100 коротких бревнышек. У них в запасе есть много длинных бревен. Чтобы распилить длинное бревно на маленькие, нужно сделать 10 распилов. Сколько всего распилов нужно сделать бурундучкам, чтобы заготовить 100 бревнышек?

Бурундучкам нужно сделать 10 распилов, чтобы целиком распилить длинное бревно. При этом самих маленьких бревнышек получится на 1 больше, то есть 11. Значит, из 9 длинных бревен получается \(9\times 11=99\) маленьких бревнышек. Чтобы получить последнее сотое бревнышко, требуется еще один распил.

Итак, для 9 длинных бревен потребуется \(9\times 10=90\) распилов, и еще один распил для сотого бревнышка, то есть всего \(90+1=91\) распил.

Ответ: 91 распил.