Как мы знаем, всего трехзначных чисел \(900\). Вместо того, чтобы считать числа, у которых произведение цифр делится на \(3\), посчитаем те, у которых произведение цифр не делится на \(3\).
Произведение цифр числа не делится на \(3\), тогда и только тогда, когда в его записи не встречаются цифры \(0\), \(3\), \(6\) и \(9\). Поэтому на каждое из трех мест мы можем поставить только одну из шести цифр: \(1\), \(2\), \(4\), \(5\), \(7\), \(8\). Применим правило умножения: при выборе очередной цифры количество способов ее выбрать не зависит от цифр, выбранных ранее, и всегда равно \(6\). Поэтому трехзначных чисел, произведение цифр которых не делится на \(3\), \(6\cdot 6\cdot 6=216\).
Чтобы теперь узнать искомое количество чисел, достаточно вычесть найденные \(216\) чисел из общего количества трехзначных чисел: \(900-216=684\), и именно у стольких трехзначных чисел произведение цифр делится на \(3\).
Ответ: У 684 чисел.