Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

Комбинаторика

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

H1 - Идея дополнения

Задание 1 #6881

Сколько клеток содержится в квадратной рамке \(14\times 14\) шириной в \(2\) клетки?

Добавим к этой рамке внутренний квадрат \(10\times 10\). Тогда мы получим целый квадрат \(14\times 14\), и в нем \(14\cdot 14=196\) клеток. При этом мы добавили \(10\cdot 10=100\) клеток. Значит, в самой рамке содержится \(196-100=96\) клеток.

Ответ: 96 клеток.

Задание 2 #6882

У скольких трехзначных чисел произведение цифр делится на \(3\)?

Как мы знаем, всего трехзначных чисел \(900\). Вместо того, чтобы считать числа, у которых произведение цифр делится на \(3\), посчитаем те, у которых произведение цифр не делится на \(3\).

Произведение цифр числа не делится на \(3\), тогда и только тогда, когда в его записи не встречаются цифры \(0\), \(3\), \(6\) и \(9\). Поэтому на каждое из трех мест мы можем поставить только одну из шести цифр: \(1\), \(2\), \(4\), \(5\), \(7\), \(8\). Применим правило умножения: при выборе очередной цифры количество способов ее выбрать не зависит от цифр, выбранных ранее, и всегда равно \(6\). Поэтому трехзначных чисел, произведение цифр которых не делится на \(3\), \(6\cdot 6\cdot 6=216\).

Чтобы теперь узнать искомое количество чисел, достаточно вычесть найденные \(216\) чисел из общего количества трехзначных чисел: \(900-216=684\), и именно у стольких трехзначных чисел произведение цифр делится на \(3\).

Ответ: У 684 чисел.

Задание 3 #6883

Пастбище для гиппогрифов представляет из себя квадрат \(10\times 10\) километров. При этом каждый гиппогриф живет в отдельном огороженном забором загоне в форме прямоугольника \(1\times 2\) километра (таким образом, всего в на пастбище обитают \(50\) гиппогрифов). Какова суммарная длина внутренних заборов, ограждающих гиппогрифов друг от друга?

Проведем в каждом загоне \(1\times 2\) дополнительный забор, разделив его на две клетки \(1\times 1\) километра. Так как всего загонов \(50\) штук, на это мы потратим лишних \(50\) километров забора. Получим квадрат \(10\times 10\), полностью разбитый на клетки \(1\times 1\).

Теперь нетрудно посчитать суммарную длину внутренних заборов. Всего \(9\) горизонтальных линий забора, каждая имеет длину \(10\) километров. Получается \(9\cdot 10=90\) километров. Такую же длину имеют вертикальные заборы. Значит, суммарная длина заборов сейчас составляет \(90\cdot 2=180\) километров. Но здесь учтены лишние \(50\) километров забора, которые мы добавили сами. Поэтому, чтобы посчитать исходную длину заборов, нужно из \(180\) вычесть добавленные \(50\) километров: \(180-50=130\) километров.

Ответ: 130 километров.

Задание 4 #6884

Раньше Нора располагалась на квадратной территории \(20\times 20\) метров, поэтому площадь составляла \(20\cdot 20=400\) м\(^2\). После рождения близнецов, семья Уизли решила расширить свои владения на три метра в каждую из четырех сторон. На сколько квадратных метров увеличилась площадь территории, на которой располагается Нора?

Ответ:

Задание 5 #6885

Сколько существует четырехзначных чисел с суммой цифр больше \(2\)?

Ответ:

Задание 6 #6886

Третьекурсники записывались на предметы по выбору: на прорицания или на арифмантику. Половина записалась на прорицания, а на арифмантику — всего двадцать человек. Оказалось, что на оба предмета одновременно записались \(5\) ребят, и каждый выбрал хотя бы один из двух предметов. Сколько всего в Хогвартсе третьекурсников?

Ответ:

Задание 7 #6887

У скольких чисел среди \(1\), \(2\), \(3\), …, \(1000\) в их записи найдутся хотя бы две различные цифры?

Ответ: