Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

Комбинаторика

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

H1 - Правило сложения и умножения (страница 2)

Задание 8 #4559

Перед Мэром Леодором и Мисс Барашкис лежат 5 билетов на разные спектакли в театр, 7 билетов на разные показы фильмов в кино, а также 9 билетов на разные представления в цирк. Сначала Мэр Леодор выбирает себе один из билетов, после чего Мисс Барашкис, чтобы показать свою индивидуальность, выбирает билет в другое место, не в то, которое выбрал Леодор. Мэр Леодор хорошо осведомлен о такой особенности своей подчиненной, и хочет предоставить ей выбор из самого большого числа вариантов. Куда ему надо взять билет?

Способ 1.

Рассмотрим три случая, куда может взять билет Мэр Леодор, и посчитаем для каждого из них, сколькими способами Мисс Барашкис сможет выбрать билет для себя.

Случай 1. Если Мэр Леодор возьмет билет в театр, то Барашкис останутся на выбор билеты в кино и в цирк. В сумме этих билетов \(7+9=16\), значит, в таком случае у Мисс Барашкис 16 вариантов выбрать себе билет.

Случай 2. Если Мэр Леодор возьмет билет в кино, то Барашкис останутся на выбор билеты в театр и в цирк. В сумме этих билетов \(5+9=14\), значит, в таком случае у Мисс Барашкис 14 вариантов выбрать себе билет.

Случай 3. Если Мэр Леодор возьмет билет в цирк, то Барашкис останутся на выбор билеты в театр и в кино. В сумме этих билетов \(5+7=12\), значит, в таком случае у Мисс Барашкис 12 вариантов выбрать себе билет.

Перебрав все возможные случаи, мы видим, что наибольшее число вариантов выбрать билет у Мисс Барашкис получается, если Мэр Леодор возьмет билет в театр.

Способ 2. Посчитаем, сколько всего билетов лежат перед коллегами. Их \(5+7+9=21\). Выбрав, куда идти, Мэр Леодор “запрещает” Мисс Барашкис либо 5, либо 7, либо 9 билетов. Чтобы у Барашкис осталось больше билетов на выбор, Мэру Леодору необходимо запретить как можно меньше билетов, то есть из трех возможных количеств нужно выбрать 5 билетов. Значит, Мэр Леодор, дабы обеспечить своей подчиненной больший выбор, должен пойти в театр.

Ответ: В театр

Задание 9 #4557

Ник выписал на доску числа 1, 2, 3, …, 10, и хочет выбрать из них два, сумма которых делится на 6. Сколькими способами он сможет их выбрать? Считается, что пары (2, 4) и (4, 2) — одинаковые.

Посмотрим, чему может равнять сумма выбранных чисел. По условию, она делится на 6. Первые три числа, делящиеся на 6, — это 6, 12 и 18. Следующие числа уже не меньше 24, а выписанные на доску числа не больше 10, то есть их сумма всяко не больше 20, то есть меньше 24. Значит, сумма может принимать всего три значения: 6, 12 и 18. Рассмотрим все три случая по-отдельности.

Случай 1. Посчитаем, сколькими способами можно выбрать два числа с суммой 6. Подходят пары (1, 5) и (2, 4), а других пар нет — ведь одно из чисел в паре обязательно не превосходит 3, две из таких пар мы выписали, а выбрать две тройки мы не можем. Значит, в этом случае получилось 2 пары.

Случай 2. Посчитаем, сколькими способами можно выбрать два числа с суммой 12. Подходят пары (2, 10), (3, 9), (4, 8), (5, 7). Других нет, так как одно из чисел не превосходит 6, при этом пары (1, 11) и (6, 6) из выписанных на доску чисел составить нельзя, а все остальные мы привели. Итак, в этом случае получилось 4 пары.

Случай 3. Посчитаем, сколькими способами можно выбрать два числа с суммой 18. Числа, меньшие 8, в пару брать нельзя, так как иначе второе число из пары будет не меньше 11. А из 8, 9 и 10 можно составить только одну пару — (8, 10). Значит, в этом случае получилась всего 1 пара.

Все полученные количества способов необходимо сложить, так как мы разбирали три различных варианта суммы, а подходит любой из этих вариантов. Итого получаем \(2+4+1=7\) возможных пар.

Ответ: 7

Задание 10 #4558

Джуди выписала на доску числа 1, 2, 3, …, 10, и хочет выбрать из них два, произведение которых делится на 6. Сколькими способами она может это сделать? Считается, что пары (2, 3) и (3, 2) — одинаковые.

Сначала подумаем, как вообще может получиться произведение, делящееся на 6. Для этого разберем два разных случая.

Случай 1. Одно из чисел пары делится на 6. Тогда второе число может быть любым, все равно произведение будет делиться на 6. Среди чисел 1, 2, 3, …, 10 лишь одно делится на 6 — само число 6. В пару к нему можно выбрать любое из 9 чисел. Получается, что под этот случай подходит 9 пар: число 6 и любое число из оставшихся.

Случай 2. Ни одно из чисел пары не делится на 6. Это означает, что само число 6 мы в этом случае не используем. Тогда для того, чтобы произведение все же делилось на 6, одно из чисел в паре должно делиться на 3, а другое — на 2. В качестве числа, делящегося на 3, можно выбрать одно из двух чисел 3 или 9 (напомним, что 6 в этом случае мы вообще выбирать не можем, иначе это 1-й случай).

Если выбрано число 3, то число, делящееся на 2, можно выбрать 4 способами: подходит любое из четных чисел 2, 4, 8, 10.

Точно также если выбрано число 9, то число, делящееся на 2, можно выбрать 4 способами: подходит любое из четных чисел 2, 4, 8, 10.

Значит, в обоих подслучаях мы получили 4 способами, а всего во втором случае, то есть когда ни одно из чисел пары не делится на 6, мы получили \(4+4=8\) способов.

Так как мы разбирали разные случаи, и подходят способы из обоих случаев, то все полученные способы необходимо сложить: \(9+8=17\), что и является ответом на эту задачу.

Комментарий. Обратите внимание, что мы специально рассматривали случаи так, что пары из разных случаев не могут совпадать. Например, если рассмотреть два случая, когда одно из чисел пары делится на 6 или когда одно из чисел пары делится на 2, а другое на 3, то пара (3, 6) будет подходить под оба случая, и мы посчитаем эту пару дважды. В процессе решения нужно быть очень аккуратными с подобными разборами случаев и всегда аккуратно проверять, не посчитали ли мы те или иные способы дважды.

Ответ: 17

Задание 11 #4562

У мисс Барашкис есть 4 магнитика с цифрами 0, 2, 3 и 5. Сколько различных чисел, меньших 1000, она может из них составить? Использовать все магнитики не обязательно.

Заметим, что если числа меньше 1000, то они однозначные, двузначные или трехзначные. Посчитаем количество чисел каждого вида. Рассмотрим сначала однозначные числа, которые можно составить из этих магнитиков. Для этого нужно использовать только один магнитик, значит, таких чисел 4: 0, 2, 3 и 5.

Теперь рассмотрим, сколько двузначных чисел можно составить из этих магнитиков. Заметим, что каждое двузначное число можно получить из однозначного, приписав слева к нему ненулевую цифру.

У нас, как мы посчитали выше, всего 4 однозначных числа. К 0 можно приписать любую из цифр 2, 3 и 5, то есть получается 3 двузначных числа, оканчивающихся на 0. К 2 можно приписать только цифры 3 и 5, ведь с 0 двузначное число начинаться не может. Получаем 2 двузначных числа, оканчивающихся на 2. Аналогично на 3 также оканчиваются 2 двузначных числа, так как к тройке можно приписать слева только цифры 2 и 5. Наконец, на 5 также оканчиваются 2 двузначных числа, так как к пятерке можно приписать слева только цифры 2 и 3.

Итак, всего мы получили \(3+2+2+2=9\) двузначных чисел, причем на 0 оканчиваются ровно 3 из них (соответственно, цифра 0 есть ровно в 3 из этих чисел).

Теперь посчитаем количество трехзначных чисел, которые мы можем составить. Каждое трехзначное число, у которого вторая цифра не 0, получается из двузначного приписыванием слева ненулевой цифры. При этом к двузначному числу, не содержащему 0, можно приписать цифру слева только одним способом, ведь неиспользованной осталась лишь одна ненулевая цифра-магнитик. Таких чисел получается 6.

К двузначному числу, содержащему цифру 0 на последнем месте, приписать цифру слева можно двумя способами, так как остались две неиспользованные ненулевые цифры-магнитика. В этом случае получается \(3\cdot 2=6\) трехзначных чисел.

Остались трехзначные числа со второй цифрой 0. Такие получаются из однозначных цифр 2, 3 или 5 приписыванием слева сначала 0, а потом, левее 0, еще одной ненулевой цифры. Таким образом, для каждой цифры единиц есть еще ровно два различных трехзначных числа. Поэтому всего указанных чисел ровно \(3\cdot 2=6\).

Итак, суммируем все полученные количества однозначных, двузначных и трехзначных чисел, получаем ответ: \(4+9+6+6+6=31\) число, меньшее 1000, можно составить из данных магнитиков.

Ответ: 31

Задание 12 #6341

Мисс Барашкис хочет выписать на доске все четырехзначные числа, сумма цифр которых делится на \(5\). Сколько чисел должна выписать на доску Мисс Барашкис?

Сначала выберем первые три цифры всеми возможными способами. Первая цифра выбирается \(9\) способами, вторая — \(10\) способами и третья — также \(10\) способами. После того, как мы выбрали первые три цифры, выбрать четвертую так, чтобы сумма всех четырех цифр делилась на \(5\), можно всегда \(2\) способами: если сумма первых трех цифр дает остаток \(r\) при делении на \(5\), то подходят в точности цифры \(5-r\) и \(10-r\) (в случае \(r=0\) походят цифры \(5\) и \(0\)). Таким образом, так как выбор цифр последовательный, а главное количество способов выбрать очередную цифру не зависит от выбранных ранее цифр, все полученные способы надо перемножить: \(9\cdot 10\cdot 10\cdot 2=1800\).

Ответ: 9 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 2 = 1800.

Задание 13 #6340

Мисс Барашкис выписывает на доску все четырехзначные числа, в записи которых есть цифра \(5\). Сколько всего чисел выпишет на доску Мисс Барашкис?

В данном случае проще сначала посчитать количество четырехзначных чисел, в записи которых нет цифры \(5\), а затем вычесть их из \(9000\), то есть количества четырехзначных чисел.

Итак, считаем четырехзначные числа, в которых нет \(5\). На первом месте может стоять любая из \(8\) цифр (кроме \(0\) и \(5\)), на втором, третьем и четвертом местах — любая из \(9\) цифр (кроме \(5\)). Так как цифры выбираются последовательно и выбор очередной цифры не зависит от выбора предыдущих, то эти способы перемножаются. Значит, всего есть \(8\cdot 9\cdot 9\cdot 9=5832\) четырехзначных чисел без \(5\) в записи. Тогда четырехзначных чисел с цифрой \(5\) в записи всего \(9000-5832=3168\).

Комментарий. Если бы мы считали сразу количество чисел с цифрой \(5\), то у нас возникло бы две проблемы. Во-первых, пятерка может стоять на любом из \(4\) мест, и все эти способы надо учесть. Во-вторых, пятерок может быть несколько, и такие числа, как, например, \(5552\) мы можем посчитать несколько раз. Поэтому-то, чтобы решить эти две проблемы одним махом, мы считаем числа, в записи которых нет \(5\). Кстати, эту идею мы уже видели в 16-м уроке “Учти лишнее”.

Ответ: 3168

Задание 14 #6339

На числовом луче отмечены точки \(1\), \(2\), \(3\), …, \(101\). Сколько отрезков нечетной длины с концами в этих точках можно отметить?

Длина отрезка равна разнице между числами. Поэтому чтобы длина отрезка была нечетной, числа в концах отрезка должны быть разной четности. Четных чисел от \(1\) до \(101\) — \(50\) штук, а нечетных — \(51\). Значит, количество способов выбрать четное число равно \(50\), а нечетное — \(51\). Эти способы перемножаются, так как производится последовательный выбор, а также количество способов выбрать нечетное число не зависит от выбора четное числа. Поэтому пар четное-нечетное всего \(50\cdot 51=2550\), и столько же отрезков нечетной длины.

Ответ: 2550