Арифметика
Основное отличие задач олимпиадной тематики от обычных школьных — в них нет четкого алгоритма решения, известного заранее, его необходимо придумать. В задачах речь пойдет о так называемом эффект плюс-минус один. Он возникает, когда количество искомых предметов несколько отличается от числа, которое мы хотим назвать сходу.
Мисс Барашкис выписала на доску все двузначные числа. Сколько всего чисел выписала на доску Мисс Барашкис?
Первое двузначное число равно 10, а последнее — 99. Значит, вопрос можно переформулировать так: сколько чисел от 10 до 99? Для удобства вычтем из каждого числа 9. Получим числа от \(10-9=1\) до \(99-9=90\). Этих чисел 90, значит, и исходных чисел было 90 штук.
Ответ: 90
Мэр Леодор подарил Мисс Барашкис книгу, страницы которой пронумерованы числами от 1 до 376. Сколько всего цифр использовано при записи этих чисел?
Однозначных чисел среди данных всего 9: от 1 до 9. В их записи используется 9 цифр.
Двузначных чисел среди данных всего 90: от 10 до 99. В их записи используется \(90\cdot 2=180\) цифр.
Все остальные числа трехзначные. Их \(376-9-90=277\), и в их записи использовано \(277\cdot 3=831\) цифра.
Получилось всего \(9+180+831=1020\) цифр.
Ответ: 1020
Зайка Джуди решила огородить участок своих родителей изгородью. Для этого ей надо поставить столбы на расстоянии 5 метров друг от друга. Участок имеет прямоугольную форму, в длину 30 метров, а в ширину — 20 метров. При этом в углах обязательно нужно ставить столбы. Сколько всего столбов нужно будет поставить Джуди?
Посчитаем сначала, сколько надо поставить столбов вдоль длинной стороны участка, включая столбы в углах. Так как длина стороны равна 30 метрам, а столбы ставятся через 5 метров, то эти столбы разобьют сторону на \(30:5=6\) частей. А столбов, ограничивающих эти части, на 1 больше: каждому столбу, кроме самого левого, соответствует часть левее этого столба. Поэтому получается \(6+1=7\) столбов. Таких сторон у прямоугольника две, значит, вдоль длинных сторон всего нужно поставить \(7\cdot 2=14\) столбов.
Теперь также посчитаем, сколько надо поставить столбов вдоль короткой стороны участка, включая столбы в углах. Ширина участка равна 25 метрам, поэтому столбы разбивают короткую сторону участка на \(25:5=5\) частей. Столбов, как было выяснено выше, на 1 больше, чем частей, то есть 6. А так как таких сторон в прямоугольнике 2, получаем всего \(6\cdot 2=12\) столбов вдоль короткой стороны участка.
Если сложить два полученных количества, то мы посчитаем каждый угловой столб два раза: с длинной стороны и с короткой. Поэтому, чтобы получить настоящее количество столбов, которые нужны Джуди, чтобы огородить участок, надо из суммы \(14+12=26\) вычесть 4 “лишних” столбца: \(26-4=22\), что и является ответом.
Ответ: 22
Лис Ник подарил Джуди шоколадку, состоящую из 48 долек и имеющую размеры \(8\times 6\). Сколько Джуди надо сделать прямолинейных разломов, чтобы разломить ее на 48 долек \(1\times 1\)? За один разлом можно ломать только один кусок.
Заметим, что после одного разлома количество кусков увеличивается ровно на 1. Сначала был один кусок (сама шоколадка), а в итоге должно получиться 48 кусков. Значит, разломов должно быть \(48-1=47\).
Ответ: 47
На центральной площади Зверополиса нарисовали квадрат со стороной 8. Мисс Барашкис хочет сделать из этого квадрата шахматную доску \(8\times 8\), проведя внутренние перегородки синей изолентой. Сколько метров изоленты ей нужно будет потратить?
Сначала посчитаем горизонтальные линии. Так как нужно отделить 8 горизонтальных полос, то Мисс Барашкис должна провести 7 горизонтальных линий изолентой. Каждая линия имеет длину 8 метров, поэтому на горизонтальные линии Мисс Барашкис потратит \(7\cdot 8=56\) метров изоленты.
Теперь также посчитаем вертикальные линии. Так как нужно отделить 8 вертикальных полос, то Мисс Барашкис должна провести 7 вертикальных линий изолентой. Каждая линия имеет длину 8 метров, поэтому на вертикальные линии Мисс Барашкис потратит также \(7\cdot 8=56\) метров изоленты.
Всего Мисс Барашкис потратит \(56+56=112\) метров изоленты.
Ответ: 112
Капитан Буйволсон раздает отличившимся курсантам медали. Он посчитал, что если раздать каждому курсанту по медали, то у него останется 3 лишних. Поэтому Капитан решил раздать каждому по две медали. В итоге всем досталось по две медали, кроме Джуди — ей вообще ничего не досталось! Сколько курсантов хотел наградить Буйволсон?
Так как при выдаче каждому курсанту по одной медали остается 3 лишних, медалей на 3 больше, чем курсантов.
Выдадим Буйволсону еще две медали, чтобы Джуди была награждена. Тогда выданных медалей на 5 больше, чем курсантов, но если выдавать по 2 медали, то всем достанется по 2 медали и ничего лишнего не останется. Таким образом, каждому курсанту выдано на 1 медаль больше, а всего выдано на 5 медалей больше. Значит, награжденных курсантов пятеро.
Ответ: 5
Однажды Мисс Барашкис целый день сильно скучала, и оттого долго смотрела на часы с двумя стрелками: минутной и часовой. Наблюдения она начала в 12:01, а закончила в 00:01 следующих суток. Каждый раз, когда минутная стрелка обгоняла часовую, Мисс Барашкис съедала пончик. Сколько пончиков съела Мисс Барашкис за время наблюдений?
Посмотрим, сколько кругов прошли часовая и минутная стрелки с начала наблюдения до его конца. Так как прошло 12 часов, то часовая стрелка сделала полный круг, а минутная — 12 полных кругов. Таким образом, минутная стрелка прошла на 11 полных кругов больше. А каждый круг, на который стрелка обгоняет другую, означает, что она совершила обгон. Таким образом, минутная стрелка совершила 11 обгонов часовой стрелки.
Ответ: 11
