H1 - Разумно организованный перебор

Например, подходит число 180: в самом деле, \((1+8)\cdot 20=180\).

Комментарий. В принципе, на этом решение можно закончить. Этот комментарий лишь о том, как его придумать. Попробуем воспользоваться разумным перебором, дабы не перебирать все трехзначные числа. В частности, понятно, что трехзначное число должно делиться на 20. Поэтому перебирать имеет смысл только числа 100, 120, 140, …. И буквально пятое число в этом ряду подходит. Подобные рассуждения помогают сильно упростить или поиск решения задачи, или запись этого решения.

Ответ: Да, существует

Рассмотрим первые 28 дней месяца. Так как эти даты идут друг за другом, то среди них каждый день недели встречается по 4 раза. Остались 29-е, 30-е и 31-е число месяца, значит, ровно 3 дня недели в этом месяце встречаются по 5 раз, и эти 3 дня идут подряд. По условию известно, что среди этих трех подряд идущих дней нет ни четверга, ни воскресенья. Тогда среди этих дней не может быть еще и пятницы с субботой. Значит, 3 дня, которые встречаются в месяце по 5 раз, это понедельник, вторник и среда. При этом 29-е число должно быть понедельником. Но 15-е число по сравнению с 29-м — это ровно две недели назад, значит, 15-е число — тоже понедельник.

Ответ: Да, это понедельник

Рассмотрим все три случая, из какой деревни могли быть звонившие.

Случай 1. Пусть звонили из Правдино. В таком случае исходя из первой фразы получается, что пожар в Правдино, но второй же фразой утверждается, что он в Переменово. Такого быть не может, значит, этот случай невозможен.

Случай 2. Пусть звонили из Лгуново. В таком случае из первой фразы можно сделать вывод, что пожар не в Лгуново, а из второй фразы — что пожар не в Переменово. Значит, в этом случае единственным вариантом, где может быть пожар, является деревня Правдино.

Случай 3. Пусть звонили из Переменска. Но в таком случае первая и вторая фразы утверждают одно и то же, что пожар в Переменске. Это невозможно, так как ее жители чередуют правду и ложь, значит, этот случай также отпадает.

Таким образом, в результате полного перебора всех случаев мы выяснили, что единственным возможным является вариант, когда пожар случился в деревне Правдино, туда и надо ехать.

Комментарий. Более того, мы выяснили, что звонить могли только из Лгуново, но этого нас узнавать не просили.

Ответ: В деревню Правдино

Комментарий 1. Для полного решения задачи в данном случае достаточно привести только пример. Но мы поясним, как его можно найти. Заметим, что наименьшее число, состоящее из одинаковых цифр и превосходящее 2018, — это как раз 2222. Поэтому попробуем вычитать остальные числа именно из него.

Далее, вычтем наибольшее возможное число так, чтобы результат все еще был больше 2018. В качестве такого наибольшего числа подходит 111: \(2222-111=2111>2018\). Попробуем еще раз вычесть наибольшее возможное красивое число так, чтобы результат остался больше 2018. Это число 88: \(2111-88=2023\). Наконец, осталось лишь немножко “исправить” полученное число, вычев из него красивое число 5. Из этих соображений и построен этот пример.

Комментарий 2. Разумеется, существуют и другие примеры. Опять же повторимся, для полного решения этой задачи достаточно привести один пример.

Ответ: Например, так: 2222 − 111 − 88 − 5 = 2018.

Посмотрим, сколько в коробке могло быть зеленых карандашей.

Случай 1. Если там совсем нет зеленых карандашей, то и синих, хоть их и в шесть раз больше, все равно в коробке не будет. Тогда все 20 карандашей — красные, но тогда красных карандашей не меньше, чем синих, противоречие. Значит, такой случай невозможен.

Случай 2. Если там ровно 1 зеленый карандаш, то синих карандашей там \(1\cdot 6=6\) штук, а красных аж \(20-1-6=13\), и их больше, чем синих, чего быть не может. Этот случай также невозможен.

Случай 3. Если в коробке ровно 2 зеленых карандаша, то синих карандашей \(2\cdot 6=12\), а красных \(20-2-12=6\). И этот случай подходит под второе условие, то есть что красных карандашей меньше, чем синих.

Случай 4. Если в коробке 3 зеленых карандаша или больше, то синих карандашей в коробке не меньше \(3\cdot 6=18\), и в сумме синих и зеленых хотя бы \(3+18=21\) карандаш, что больше 20. Значит, 3 или больше зеленых карандашей в коробке быть не может.

Итак, мы перебрали все варианты количества зеленых карандашей в коробке и выяснили, что возможен лишь вариант, когда зеленых карандашей 2. В этом случае мы нашли, что синих карандашей 12, а красных — 5. Таким образом, это единственный возможный ответ.

Ответ: 6 красных, 12 синих и 2 зеленых

Комментарий. Для полного решения этой задачи достаточно привести пример заполненной таблицы. Тем не менее, покажем, как можно его придумать. Заметим, что нижняя строка и правый столбец совпадают по нижней правой угловой клетке. При этом сейчас суммы в них отличаются на 8. Значит, вторые числа в столбце и строке также должны отличаться на 8, чтобы в итоге сумма стала одинаковой. Поэтому запишем в среднюю клетку нижней строки число 1, а в среднюю клетку левого столбца число 9.

Далее таблица восстанавливается однозначно. В самом деле, нам известна сумма в диагонали, идущей из левого нижнего угла в правый верхний, она равна 18. Значит, все остальные суммы также равны 18. Отсюда сразу восстанавливается число в нижней правой угловой клетке, оно равно 7. Затем можно найти число в левой верхней угловой клетке, оно равно \(18-6-7=5\). Наконец, средние числа в верхней строке и левом столбце также находятся из суммы в соответствующих линиях: среднее число в левом столбце равно \(18-5-10=3\), а среднее число в верхней строке равно \(18-5-2=11\).

Ответ: Например, так:

Чтобы упростить перебор, посмотрим сначала, сколько раз число можно умножать на 3. Если мы это сделаем 2 или более раз, то в результате получится не меньше, чем \(3\cdot 3\cdot 3=27\), что больше 20. Поэтому умножать на 3 можно не более одного раза.

Поэтому все способы можно разбить на такие варианты.

(a) Умножение на 3 происходит первым ходом. После этого еще \(20-3\cdot 3=11\) раз прибавляется 1.

(b) Умножение на 3 происходит вторым ходом. После этого еще \(20-(3+1)\cdot 3=8\) раз прибавляется 1.

(c) Умножение на 3 происходит третьим ходом. После этого еще \(20-(3+2)\cdot 3=5\) раз прибавляется 1.

(d) Умножение на 3 происходит четвертым ходом. После этого еще \(20-(3+3)\cdot 3=2\) раза прибавляется 1.

(e) Пятым или более поздними ходами умножать на три уже нельзя. В самом деле, число, полученное в результате проведенных ранее ходов, уже больше или равно \(3+4=7\), поэтому после домножения на 3 получится хотя бы \(3\cdot 7=21>20\). Поэтому остался не посчитан единственный случай, а именно когда умножение на 3 не происходит ни одним ходом.

Итак, мы разобрали все варианты, доказали, что других нет, нашли 5 способов. Отсюда и ответ.

Ответ: 5 способами