H1 - Разумно организованный перебор (страница 2)

Рассмотрим первое число и разберем все три случая того, какая же цифра могла быть верно угадана преступником.

Случай 1. Пусть верно угадана первая цифра, то есть 5. Тогда две другие цифры этого числа подобраны неверно, в частности, на втором месте не 4. Далее, в третьем числе эта же цифра 5 подобрана верно, значит, две другие цифры подобраны неверно, в частности, на третьем месте не 2. Тогда во втором числе ни одна из цифр не угадана верно: на первом месте настоящего секретного кода находится 5, а не 1, на втором, как было оговорено выше, не 4, а на третьем — не 2. Значит, этот случай не подходит.

Случай 2. Пусть верно угадана цифра 4. Тогда две другие цифры этого числа подобраны неверно, в частности, на первом месте не 5. Далее, во втором числа эта же цифра 4 подобрана верно, значит, две другие цифры подобраны неверно, в частности, на третьем месте настоящего секретного кода не 2. Но тогда в третьем числе ни одна из цифр не угадана верно, что невозможно. Значит, и этот случай также не подходит.

Случай 3. Пусть верно угадана цифра 3. Тогда на первом месте настоящего секретного кода не 5, а на втором — не 4. Значит, во втором числе ни на третьем, ни на втором месте не стоит правильная цифра, поэтому верно угадана первая цифра, и это 1. А в третьем числе ни на первом месте, ни на третьем не стоят верные цифры, значит, правильно угадана вторая цифра, и это 6.

Итак, мы разобрали все три возможных случая, при этом оказалось, что подходит лишь один из них, и в этом случае мы смогли однозначно найти секретный код. Отсюда и ответ.

Ответ: Да, это 163.

Комментарий 1. В данной задаче полным решением является приведение одного из возможных примеров. Поясним, как можно придумать этот. Заметим, что \(100=2\cdot 2\cdot 5\cdot 5\). При этом две пятерки на доске уже есть, как и одна двойка. Осталось в результате расстановки знаков получить еще одну двойку, и это можно сделать, поделив 6 на 3. Поэтому перед тройкой надо поставить знак деления, а перед остальными цифрами — умножения.

Комментарий 2. Существуют и другие примеры решения этой задачи.

Ответ: Например, так: 1 ⋅ 2 : 3 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 6 = 100.

Для начала заметим, что четырех ферзя должны находиться в разных строках и разных столбцах. А так как и строк, и столбцов, и ферзей по 4, то в каждой строке и в каждом столбце должен находиться ровно один ферзь. Рассмотрим случаи, где может находиться ферзь в первом столбце.

Случай 1. Предположим, что мы смогли поставить ферзя в угол. Будем считать, что это левый верхний угол, рассуждения для левого нижнего угла аналогичны. Посмотрим, где тогда может стоять ферзь во втором столбце. Так как две верхние клетки второго столбца побиты первым ферзем, остались два варианта.

(i) Пусть ферзь во втором столбце стоит в третьей клетке.

Тогда в третьем столбце две клетки, отмеченные крестами, побиты первым ферзем, а две другие — вторым, значит, в третьем столбце ставить ферзя некуда. Поэтому такой вариант невозможен.

(ii) Пусть ферзь во втором столбце стоит в четвертой клетке.

Тогда в третьем столбце ферзя можно поставить только во вторую клетку, так как все остальные уже побиты предыдущими двумя ферзями. Но тогда в четвертом столбце все клетки побиты: первые три ферзем из третьего столбца, а четвертая и ферзем из первого столбца, и из второго. Поэтому там ставить ферзя некуда, и такой случай вновь невозможен.

Случай 2. Предположим, что в первом столбце ферзь стоит во второй клетке. Тогда во втором столбце ферзя можно поставить только в последнюю клетку.

Также в третьем столбце после расстановки ферзей в первых двух столбцах осталась лишь одна непобитая клетка: самая верхняя, значит, ферзя можно поставить только туда. Наконец, ферзя в четвертом столбце можно поставить только в третью клетку, получается единственный способ.

Случай 3. Предположим, что в первом столбце ферзь стоит в третьей клетке. Тогда во втором столбце ферзя можно поставить только в первую клетку.

Также в третьем столбце после расстановки ферзей в первых двух столбцах осталась лишь одна непобитая клетка: самая нижняя, значит, ферзя можно поставить только туда. Наконец, ферзя в четвертом столбце можно поставить только во вторую клетку, получается снова единственный способ.

Итак, мы разобрали все возможные случаи постановки ферзя в первом столбце (в углу, во второй сверху клетке и в третьей). В итоге найдено 2 варианта и доказано, что других нет, значит, задача решена, а ответ — двумя способами.

Ответ: Двумя

Сначала взвесим между собой две монеты.

Случай 1. Предположим, что весы оказались в равновесии. Это означает, что обе монеты настоящие. Тогда взвесим одну из них с одной из оставшихся. Если монеты не равны, то эта монета фальшивая. Если же весы покажут равенство, то фальшивой является четвертая монета, не участвовавшая во взвешиваниях.

Случай 2. Предположим, что весы оказались не в равновесии. Тогда можно считать, что первая монета тяжелее второй. Значит, фальшивая монета — одна из этих двух. Тогда обе оставшиеся монеты точно настоящие. Взвесим одну из оставшихся монет с более тяжелой. Если весы окажутся в равновесии, то более тяжелая монета с первого взвешивания настоящая, значит, фальшивая — более легкая. Если же весы покажут неравенство, то фальшивая монета — как раз более тяжелая из тех двух, что мы взвешивали вначале, ведь она оказалась не равна по весу заведомо настоящей монете.

Комментарий. Обратите внимание, что в первом случае может получиться, что мы не будем знать про фальшивую монету, является ли она более легкой или более тяжелой. Вообще, определить наверняка и фальшивую монету, и то, является ли она более тяжелой или более легкой, нельзя, и это мы тоже в вами как-нибудь докажем.

Ответ: