В команде Мстителей \(8\) героев: Железный Человек, Халк, Капитан Америка, Соколиный Глаз, Доктор Стрэндж, Тор, Человек-Паук и Черная Вдова. Докажите, что двое из них родились в один день недели.

В “Школково” работают \(25\) преподавателей. На ежегодном собрании они разошлись по \(6\) аудиториям. Верно ли, что в какой-то аудитории собрались хотя бы \(5\) преподавателей?

В “Школково” работают \(25\) преподавателей. На ежегодном собрании они разошлись по \(6\) аудиториям. Верно ли, что в какой-то аудитории собрались ровно \(5\) преподавателей?

Скитаясь по космосу, Енот Ракета встретил \(50\) инопланетян. Докажите, что среди них есть либо \(8\) существ, у которых ног поровну, либо \(8\) существ, у всех из которых разное число ног.

Тор нарисовал на доске квадрат \(10\times 10\) и написал в каждую клетку число \(1\), \(2\) или \(3\). Локи посчитал все суммы по горизонталям, вертикалям и двум диагоналям. Докажите, что у Локи в любом случае получатся хотя бы две одинаковые суммы.

На доске написаны числа \(2\), \(4\), \(8\), \(16\), …, \(2^{100}\). Докажите, что разность между какими-то двумя числами делится на \(99\).

Для тренировки меткости Соколиный Глаз использует мишень размером \(4\text{ см}\times 4\text{ см}\). Он сделал \(15\) выстрелов. Докажите, что на мишени можно выделить квадрат \(1\text{ см}\times 1\text{ см}\), внутрь которого Соколиный Глаз не попал.

На следующей тренировке Соколиный Глаз использовал в качестве мишени квадрат \(10\times 10\). Он совершил \(49\) выстрелов, каждый раз стреляя в новый квадратик \(1\times 1\). Докажите, что найдутся три квадратика, образующие уголок из трех клеток, ни в одну из которых Соколиный Глаз не попал.