Общие идеи
Стулья возле обеденного стола Слизерина стоят в ряд, всего \(40\) стульев. Изначально на них никто не сидит. Первым на обед пришел Драко Малфой и сел за свободный стул. После этого по одному начали приходить остальные студенты. Каждый раз, когда студент садится на стул, один из его соседей, если такие есть, считает, что тот посягнул на его личное пространство, сразу обижается и уходит из-за стола. Могут ли за столом Слизерина одновременно обедать \(39\) человек?
Ответ:
Придумайте \(3\) различных натуральных числа таких, чтобы каждое делило сумму двух оставшихся.
Объясним, как можно придумать этот пример. Наибольшее число должно делить сумму двух остальных. Но тогда сумма двух оставшихся чисел должна равняться наибольшему. Значит, наши числа — \(a\), \(b\) и \(a+b\). При этом нам нужно, чтобы \(a+2b\) делилось на \(a\). Возьмем \(a=1\), ведь тогда любое число делится на \(a\). Осталось добиться того, чтобы \(2a+b=2+b\) делилось на \(b\). Тогда \(2\) делится на \(b\), значит, надо взять \(b=2\).
Замечание. Для полного решения достаточно лишь привести пример. Эти рассуждения лишь показывают, как его можно придумать. Есть и другие примеры.
Ответ: Подходят, например, числа 1, 2 и 3.
Придумайте \(3\) различных натуральных числа таких, чтобы каждое делило сумму двух оставшихся, и при этом все числа были больше \(100\).
Рассмотрим пример к предыдущей задаче. Он всем хорош, кроме того, что числа слишком маленькие. Заметим, что если мы все числа умножим на одно и то же число \(n\), то условие делимости продолжит выполняться. В самом деле, мы сумму двух чисел домножим на \(n\) и число, делимость на которое должна выполняться, домножим на \(n\), тогда на \(n\) можно будет сразу сократить и получить исходную делимость. Поэтому достаточно наш пример \(1\), \(2\) и \(3\) домножить на любое число, большее \(100\). В нашем случае мы домножили на \(101\).
Ответ: Например, подойдут числа 101, 202 и 303.
Придумайте \(4\) различных натуральных числа таких, чтобы каждое делило сумму трех оставшихся.
Эта задача отличается от первой количеством чисел. Опять же не будем совсем забывать предыдущий пример. Попробуем добавить к нему четвертое число так, чтобы, во-первых, не нарушилось условие на предыдущие числа, а во-вторых, соблюдалось условие для нового числа.
Поясним, что имеется ввиду. Пусть мы добавляем число \(k\). До этого у нас уже выполнялось, что \(1+2\) делится на \(3\). Теперь нам нужно, чтобы \(1+2+k\) делилось на \(3\). Чтобы это условие выполнялось, нам достаточно взять \(k\), делящееся на \(3\). Аналогично выберем \(k\) так, чтобы оно делилось на \(2\) и на \(1\). Тем самым нам достаточно, чтобы \(k\) делилось на \(6\).
Кроме того, число \(k\) должно делить сумму трех остальных чисел, то есть \(1+2+3=6\). Тогда как раз \(k=6\) нам и подойдет! В самом деле, \(6\) делится на \(6\), поэтому условия делимости на \(1\), \(2\) и \(3\) останутся. Во-вторых, \(1+2+3=6\) делится на \(6\), поэтому и для добавленного числа выполняется условие, что сумма оставшихся чисел делится на это число.
Комментарий. На самом деле мы заодно доказали, что единственное число, которое можно добавить к \(1\), \(2\) и \(3\) с выполнением всех условий, это как раз \(6\). Но все эти рассуждения нужны лишь для того, чтобы придумать пример, на олимпиаде их писать в подобных задачах не надо.
Ответ: Например, подойдут числа 1, 2, 3, 6.
Придумайте \(8\) различных натуральных числа таких, чтобы каждое делило сумму семи оставшихся.
Продолжим постепенное конструирование, начатое в предыдущей задаче, то есть постараемся получить из \(1\), \(2\), \(3\), \(6\) пример на \(5\) чисел, затем на \(6\), \(7\) и, наконец, \(8\). Как мы уже выяснили ранее, нам нужно добавить число, которое делится на \(1\), \(2\), \(3\), \(6\), и делит сумму \(1+2+3+6=12\). Таково число \(12\). Добавим его. Аналогично добавим числа \(24\), \(48\) и \(96\) (они будут равны сумме всех уже имеющихся чисел, а также делиться на каждое из уже имеющихся чисел).
Комментарий. Таким образом можно получить пример на любое количество чисел.
Ответ: Подходят числа 1, 2, 3, 6, 12, 24, 48, 96.
