Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

Общие идеи

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

H1 - Двойной подсчет (страница 4)

Задание 22 #6287

Мэр Леодор подарил Мисс Барашкис набор из \(100\) карточек \(7\) различных цветов. На каждой карточке Мисс Барашкис написала дробь: в числителе \(1\), а в знаменателе — общее количество карточек такого же цвета. Чему равна сумма всех \(100\) дробей?

Посмотрим на все карточки одного цвета. На каждой из них записана одна и та же дробь с числителем \(1\), а в знаменателе — количество карточек этого цвета. Тогда, когда мы сложим эти дроби, сложится столько же дробей, каков знаменатель каждой из них. Значит, сумма всех таких дробей равна \(1\). При этом различных цветов \(7\), и сумма дробей на карточках одного цвета равна \(1\). Значит, сумма всех дробей равна \(7\).

Ответ: 7

Задание 23 #4596

Мисс Барашкис вырезала из прямоугольника \(20\times 30\) (20 столбцов, 30 строк) крест, в котором вертикальная полоска имеет ширину 3 клетки, а горизонтальная — 2 клетки. Сколько всего клеток в таком кресте?

Посчитаем, сколько всего клеток в вертикальной полосе. Так как строк в прямоугольнике 30, то высота вертикальной полоски равна 30 клеточкам, а ширина, по условию, равна 3 клеткам. Значит, в вертикальной полосе креста \(30\cdot 3=90\) клеток.

Далее, считаем, сколько всего клеток в горизонтальной полосе. Так как столбцов в прямоугольнике 20, то длина горизонтальной полоски равна 20 клеточкам, а ширина, по условию, равна 2 клеткам. Значит, в горизонтальной полосе креста \(20\cdot 2=40\) клеток.

При этом некоторые клетки были посчитаны как в вертикальной полосе, так и в горизонтальной, а именно все клетки на пересечении этих полос. Так как ширина вертикальной полоски равна 3 клеткам, а ширина горизонтальной — 2 клеткам, то прямоугольник на пересечении этих полос имеет размеры \(3\cdot 2\) клеток, то есть состоит из \(3\cdot 2=6\) клеток. Именно эти 6 клеток мы и посчитали дважды. Поэтому, чтобы получить настоящее количество клеток в кресте, надо сложить полученные выше клетки и вычесть из них 6, посчитанных дважды. В итоге получается \(90+40-6=134\) клеток в кресте, вырезанном Мисс Барашкис.

Ответ: 134

Задание 24 #4597

Мисс Барашкис выписывает на доску все нечетные натуральные числа от 1 до 1000, не делящиеся на 5. Сколько чисел должна выписать на доску Мисс Барашкис?

Нечетных чисел от 1 до 1000 ровно половина, а именно \(1000:2=500\). Далее, чисел от 1 до 1000, делящихся на 5, в каждой пятерки подряд идущих ровно одно. Значит, они составляют пятую часть всех чисел, то есть таких чисел \(1000:5=200\).

Если сейчас из 500 нечетных чисел вычесть 200, делящихся на 5, то получится меньше, чем надо, ведь мы вычтем лишние четные числа, делящиеся на 5. Поэтому, чтобы получить искомое число, надо сначала к 500 нечетным числам добавить четные, делящиеся на 5, а после этого вычесть 200 чисел, делящихся на 5.

Считаем количество четных чисел, делящихся на 5. Каждое такое число — это число, делящееся на 10. Таких чисел — каждое десятое, значит, их \(1000:10=100\) штук.

Как говорилось выше, сложим 500 нечетных чисел и 100 четных чисел, делящихся на 5, получим \(500+100=600\) чисел. Теперь, если удалить все числа, делящиеся на 5, получим искомое количество нечетных чисел, не делящихся на 5: \(600-200=400\), что и требовалось найти.

Ответ: 400

Задание 25 #4598

В колоде у Джуди 52 карты: по 13 карт четырех мастей. Однажды Джуди играла с Ником в карты, и у нее собрались все картинки (валеты, дамы и короли), а также все пики, а больше никаких карт у Джуди на руках не было. Сколько всего карт собралось на руках у Джуди?

Картинок всего в колоде 12: по три картинки каждой из четырех мастей, получается \(3\cdot 4=12\). Пики составляют четверть всех карт, то есть их \(52:4=13\) штук. В сумме получается \(12+13=25\). Но при этом картинки-пики, три карты, посчитаны два раза. Поэтому, чтобы посчитать количество карт у Джуди, надо из найденной суммы, то есть 25, вычесть дважды посчитанные карты: \(25-3=22\), что и является искомым ответом.

Ответ: 22

Задание 26 #4599

Мэр Леодор подарил Мисс Барашкис набор из 100 карточек 7 различных цветов. На каждой карточке Мисс Барашкис написала дробь: в числителе 1, а в знаменателе — общее количество карточек такого же цвета. Чему равна сумма всех 100 дробей?

Рассмотрим на все карточки одного цвета. На каждой из них записана одна и та же дробь с числителем 1, а в знаменателе — количество карточек этого цвета. Тогда, когда мы сложим эти дроби, сложится столько же дробей, каков знаменатель каждой из них. Значит, сумма всех таких дробей равна 1. При этом различных цветов 7, и сумма дробей на карточках одного цвета равна 1. Значит, сумма всех дробей равна 7.

Ответ: 7

Задание 27 #4600

В кабинете Мэра Леодора стоит кубик. На каждом его ребре написано по числу. Мэр Леодор посчитал для каждой вершины сумму чисел на выходящих из нее ребрах. У него получились результаты 1, 2, …, 8. Чему равна сумма чисел на всех ребрах?

Сложим полученные результаты: \(1+2+\ldots+8=72\). Заметим, что число на каждом ребре в такой сумме посчитано два раза: по одному разу для каждой из двух вершин, которые оно соединяет. Значит, сумма чисел на всех ребрах в два раза меньше полученного результата: \(72:2=36\).

Ответ: 36

Задание 28 #4601

Мисс Барашкис написала на доску в ряд 5 различных целых чисел. Может ли так случиться, что сумма любых двух соседних чисел отрицательна, а сумма всех — положительна?

Например, подходят числа \(10\), \(-13\), \(11\), \(-14\), \(12\). Как нетрудно проверить, сумма любых двух соседних отрицательна, а сумма всех чисел равна \(10-13+11-14+12=6>0\).

Ответ: Да, может