Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

Общие идеи

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

H1 - Двойной подсчет (страница 4)

Задание 22 #6287

Мэр Леодор подарил Мисс Барашкис набор из \(100\) карточек \(7\) различных цветов. На каждой карточке Мисс Барашкис написала дробь: в числителе \(1\), а в знаменателе — общее количество карточек такого же цвета. Чему равна сумма всех \(100\) дробей?

Посмотрим на все карточки одного цвета. На каждой из них записана одна и та же дробь с числителем \(1\), а в знаменателе — количество карточек этого цвета. Тогда, когда мы сложим эти дроби, сложится столько же дробей, каков знаменатель каждой из них. Значит, сумма всех таких дробей равна \(1\). При этом различных цветов \(7\), и сумма дробей на карточках одного цвета равна \(1\). Значит, сумма всех дробей равна \(7\).

Ответ: 7

Задание 23 #4603

Джуди подарили корзину с тремя яблоками. У нее есть маленькие весы, с помощью которых можно узнать точный вес любых двух яблок. Как за 3 взвешивания на таких весах узнать суммарный вес всех трех яблок?

Пронумеруем яблоки числами 1, 2 и 3. Взвесим всевозможные пары яблок: 1 и 2, 1 и 3, 2 и 3. Результаты выпишем на листочек и сложим. В полученной сумме масса каждого яблока посчитана дважды, так как каждое яблоко участвует в двух парах. Поэтому полученная сумма вдвое больше суммарного веса всех яблок, значит, чтобы узнать вес всех трех яблок, достаточно полученную сумму поделить на 2.

Ответ:

Задание 24 #4602

Мисс Барашкис расставила по кругу 5 различных целых чисел. Может ли так случиться, что сумма любых двух соседних чисел отрицательна, а сумма всех — положительна?

Рассмотрим все пары соседних чисел. Таких пар 5 штук. Посчитаем сумму в каждой такой паре и сложим все 5 полученных сумм, обозначим ее через \(S\). Так как каждая сумма, по условию, отрицательна, то сумма \(S\) попарных сумм соседних чисел также отрицательна.

С другой стороны, каждое расставленное по кругу числу посчитано в этой сумме два раза: один раз в паре с левым соседом и один раз в паре с правым соседом. Значит, полученная сумма \(S\) равна удвоенной сумме всех пяти чисел, расставленных Мисс Барашкис. Значит, просто сумма всех пяти чисел, расставленных Барашкис, равна \(S:2\), что также является отрицательным числом. Таким образом, сумма выписанных чисел не может быть положительной.

Ответ: Нет, не может

Задание 25 #4601

Мисс Барашкис написала на доску в ряд 5 различных целых чисел. Может ли так случиться, что сумма любых двух соседних чисел отрицательна, а сумма всех — положительна?

Например, подходят числа \(10\), \(-13\), \(11\), \(-14\), \(12\). Как нетрудно проверить, сумма любых двух соседних отрицательна, а сумма всех чисел равна \(10-13+11-14+12=6>0\).

Ответ: Да, может

Задание 26 #4600

В кабинете Мэра Леодора стоит кубик. На каждом его ребре написано по числу. Мэр Леодор посчитал для каждой вершины сумму чисел на выходящих из нее ребрах. У него получились результаты 1, 2, …, 8. Чему равна сумма чисел на всех ребрах?

Сложим полученные результаты: \(1+2+\ldots+8=72\). Заметим, что число на каждом ребре в такой сумме посчитано два раза: по одному разу для каждой из двух вершин, которые оно соединяет. Значит, сумма чисел на всех ребрах в два раза меньше полученного результата: \(72:2=36\).

Ответ: 36

Задание 27 #4599

Мэр Леодор подарил Мисс Барашкис набор из 100 карточек 7 различных цветов. На каждой карточке Мисс Барашкис написала дробь: в числителе 1, а в знаменателе — общее количество карточек такого же цвета. Чему равна сумма всех 100 дробей?

Рассмотрим на все карточки одного цвета. На каждой из них записана одна и та же дробь с числителем 1, а в знаменателе — количество карточек этого цвета. Тогда, когда мы сложим эти дроби, сложится столько же дробей, каков знаменатель каждой из них. Значит, сумма всех таких дробей равна 1. При этом различных цветов 7, и сумма дробей на карточках одного цвета равна 1. Значит, сумма всех дробей равна 7.

Ответ: 7

Задание 28 #4598

В колоде у Джуди 52 карты: по 13 карт четырех мастей. Однажды Джуди играла с Ником в карты, и у нее собрались все картинки (валеты, дамы и короли), а также все пики, а больше никаких карт у Джуди на руках не было. Сколько всего карт собралось на руках у Джуди?

Картинок всего в колоде 12: по три картинки каждой из четырех мастей, получается \(3\cdot 4=12\). Пики составляют четверть всех карт, то есть их \(52:4=13\) штук. В сумме получается \(12+13=25\). Но при этом картинки-пики, три карты, посчитаны два раза. Поэтому, чтобы посчитать количество карт у Джуди, надо из найденной суммы, то есть 25, вычесть дважды посчитанные карты: \(25-3=22\), что и является искомым ответом.

Ответ: 22