Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

Логика

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

H1 - Рыцари и Лжецы (страница 3)

Задание 15 #6709

По кругу стоят \(30\) островитян. Каждый сказал: “Среди моих соседей четное число троллей”. Сколько эльфов может быть в этом круге?

Ответ:

Задание 16 #6708

По кругу стоят \(30\) островитян. Каждый сказал: “Не считая меня и моих соседей, все остальные в круге тролли.” Сколько эльфов может быть в круге?

Ответ:

Задание 17 #6707

По кругу стоят \(30\) островитян. Каждый сказал: “Среди моих соседей нечетное число троллей”. Сколько эльфов может быть в этом круге?

Ответ:

Задание 18 #6706

По кругу стоят \(30\) островитян. Каждый сказал: “Мой сосед справа лжец”. Сколько эльфов может быть в этом круге?

Ответ:

Задание 19 #6705

По кругу стоят \(30\) островитян. Каждый сказал: “Оба моих соседа эльфы”. Сколько эльфов может быть в этом круге?

Ответ:

Задание 20 #6704

По кругу стоят \(30\) островитян. Каждый сказал: “Среди моих соседей нечетное число эльфов”. Сколько эльфов может быть в этом круге?

Рассмотрим одного эльфа, если такой есть. По условию, рядом с ним стоит нечетное число эльфов. Всего у него два соседа, и единственное нечетное число эльфов, которое может рядом с ним стоять, — \(1\) эльф. Значит, рядом с ним с одной стороны стоит эльф, а с другой — тролль. То же верно для каждого эльфа в кругу. Поэтому все эльфы стоят парами: один эльф стоять не может, так как тогда рядом с ним будет четное число эльфов, а именно \(0\), а если подряд стоят больше двух эльфов, то рядом с не крайними эльфами стоят \(2\) эльфа, что опять же не является нечетным числом.

Теперь посмотрим на какую-то группу из двух эльфов и разберемся, сколько троллей может стоять после них. Один тролль там обязательно стоит, так как больше двух эльфов подряд, как было доказано выше, стоять не может. Рассмотрим этого тролля. Рядом с ним уже стоит один эльф. Если с другой стороны будет стоять тролль, то рядом с этим эльфом будет стоять ровно \(1\) эльф, то есть нечетное число эльфов, и тогда тролль скажет правду. Поэтому с другой стороны стоит эльф. Значит, пары эльфов разделены группами по одному троллю. Тогда мы получаем единственную возможную расстановку: ЭЭТЭЭТЭЭТ…. Отметим, что так как общее число островитян в кругу делится на \(3\), то такая расстановка действительно возможна, получается \(10\) групп по \(3\) островитянина: два эльфа и тролль. В таком случае эльфов \(2\cdot 10=20\).

Вспомним, что все эти рассуждения проходили в предположении, что в круге есть хотя бы один эльф. Если предположение неверно, то в кругу стоят одни тролли. И такой случай также подходит: тогда каждый эльф стоит рядом с \(0\) эльфов, а \(0\) — четное число. Значит, все тролли врут, и все сходится. В таком случае эльфов \(0\).

Ответ: 0 или 20.

Задание 21 #6703

На экзамен по прорицаниям к профессору Трелони пришло \(13\) юных волшебников. Перед экзаменом профессор попросила каждого сделать какое-нибудь предсказание, кто сдаст экзамен. Все сделали одно и то же предсказание: “Все, кроме, возможно, меня и моих соседей, не сдадут экзамен”. В итоге оказалось, что предсказание оказалось верным в точности у тех, кто сдал экзамен. Сколько человек в тот день сдали экзамен?

Сразу отметим, что сдавшие экзамен есть, ведь если бы никто не сдал экзамен, то все предсказания оказались бы верны, чего не может случиться у тех, кто не сдал экзамен. Поэтому мы можем рассмотреть того, кто сдал экзамен, назовем его Флоренц. Все, кроме него и, возможно, двух его соседей, экзамен не сдали, а сам он сдал. Поэтому осталось лишь понять, сдали ли экзамен соседи.

Заметим, что эти соседи говорят друг про друга, что их оппонент экзамен не сдаст. Поэтому оба сдать экзамен они не могут. Значит, один из них все-таки экзамен не сдал. Но тогда его оппонент верно сказал, что все, кроме, возможно, него самого и соседей экзамен не сдали. Таким образом, из двух соседей Флоренца ровно один экзамен сдаст. Поэтому всего сдавших экзамен двое.

Ответ: 2 человека.