Правило умножения в данном случае не работает: в зависимости от того, куда мы поставим белого короля, он “запрещает” разное число клеток, куда нельзя поставить черного короля. Поэтому разберем три возможных варианта расположения короля, в которых он бьет разное число клеток.
Случай 1. Белый король стоит в углу. Выбрать угол для белого короля можно \(4\) способами. После этого черного короля нельзя ставить на \(4\) клетки: ту, в которой уже стоит белый король, и еще \(3\) соседние. Поэтому черного короля в этом случае можно поставить \(60\) способами. И сейчас правило умножения уже работает: вне зависимости от того, в какой угол мы поставим белого короля, он запретит \(4\) клетки, и черного короля можно будет поставить \(60\) способами. Значит, в этом случае поставить белого и черного королей можно \(4\cdot 60=240\) способами.
Случай 2. Белый король стоит с краю, но не в углу. Место белого короля можно выбрать \(24\) способами: подходят по 6 клеток возле каждой стороны шахматной доски. В этом случае белый король бьет \(5\) клеток, да еще занимают ту, на которой стоит. Значит, черному королю запрещены \(6\) клеток, и поставить черного короля мы можем \(64-6=58\) способами. Также, как и в предыдущем случае, работает правило умножения, поэтому способов поставить белого короля и черного короля, не бьющих друг друга, в данном случае \(24\cdot 58=1392\).
Случай 3. Белый король стоит не у края. Место белого короля можно выбрать \(36\) способами: подходит любая клетка центрального квадрата \(6\times 6\). В этом случае белый король бьет \(8\) клеток, и также занимает ту, на которой стоит. Поэтому для черного короля осталось \(64-8-1=55\) возможных клеток. Как и в двух предыдущих случаях, так как королей мы ставим последовательно, и в данном случае независимо от того, в какую из центральных \(36\) клеток мы поставили короля, черного можно поставить \(55\) способами, работает правило умножения, то есть способы можно перемножить: \(36\cdot 55=1980\) способами можно поставить белого и черного королей в этом случае.
Итак, мы разобрали все три случая того, сколько клеток может бить белый король, и в каждом посчитали количество способов поставить белого и черного королей. Полученные числа надо сложить, так как это разбор разных случаев, и чтобы получить все случаи сразу, мы складываем способы из разных случаев. Значит, итоговый ответ равен \(240+1392+1980=3612\).
Ответ: 3612