Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

Комбинаторика

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

H1 - Правило сложения и умножения (страница 3)

Задание 15 #6334

На важной встрече присутствовали \(3\) мартышки, \(5\) шимпанзе и \(10\) котят. Перед началом встречи все обезьянки пожали лапы всем котятам. Сколько рукопожатий было сделано?

И мартышки, и шимпанзе — обезьяны, поэтому всего обезьян \(3+5=8\). В одном рукопожатии участвуют двое зверят: одна обезьянка и один котенок. Обезьянку можно выбрать \(8\) способами, а котенка — \(10\) способами. Так как обезьянку и котенка мы выбираем последовательно, а также выборы обезьянки и котенка не зависят друг от друга, то способы перемножаются: \(8\cdot 10=80\) способов выбрать пару обезьянка–котенок. Но каждая такая пара соответствует одному рукопожатию, значит, рукопожатий тоже \(80\).

Ответ: 80

Задание 16 #6335

Мисс Барашкис выписала на доску все трехзначные числа, все цифры которых четны. Сколько чисел выписала на доску Мисс Барашкис?

Всего четных цифр, как и нечетных, \(5\): \(0\), \(2\), \(4\), \(6\) и \(8\). Однако цифру \(0\) нельзя ставить на первое место. Поэтому цифру из разряда сотен мы можем выбрать лишь \(4\) способами. После этого цифру из разряда десятков мы можем выбрать \(5\) способами, также цифру единиц мы можем выбрать \(5\) способами. Так как выбор цифры в очередном разряде не зависит от того, что мы выбрали ранее, эти способы надо перемножить: \(4\cdot 5 \cdot 5=100\).

Ответ: 100

Задание 17 #6336

Лис Ник собирается поставить на шахматную доску \(8\times 8\) две ладьи — черную и белую — так, чтобы они не били друг друга. Сколькими способами она может это сделать? Напомним, что ладья бьет по горизонтали и вертикали на любое число клеток.

Сначала поставим на доску белую ладью. Это можно сделать на любую клетку, то есть \(64\) способами. Теперь черную ладью нельзя ставить в тот же столбец или в ту же строку, в которых уже стоит белая ладья. Значит, остаются 7 строк и 7 столбцов, в которых может стоять ладья, всего \(7\cdot 7=49\) клеток. Поэтому черную ладью независимо от того, как была поставлена первая, можно выставить \(49\) способами. Тогда пару ладей мы можем поставить \(64\cdot 49=3136\) способами, так как количество способов поставить черную ладью не зависит от того, куда была поставлена белая ладья.

Ответ: 64 ⋅ 49 = 3136.

Задание 18 #6337

Мисс Барашкис выписывает на доску все трехзначные числа, у которых нет одинаковых цифр. Сколько чисел напишет на доску Мисс Барашкис?

Будем выбирать цифры этого числа последовательно, начиная с разряда сотен. Туда подходит \(9\) цифр: любая цифра, кроме \(0\). После этого на второе место мы можем выбрать \(9\) цифр: любая цифра, кроме той, что стоит на первом месте. Наконец, цифру единиц мы можем выбрать \(8\) способами: любая цифра, кроме тех двух, что уже стоят в разряде сотен и десятков. Эти способы выбрать очередную цифру перемножаются, так как количество способов выбрать очередную цифру не зависит от того, какие цифры мы уже выбрали ранее: \(9\cdot 9\cdot 8=648\).

Ответ: 648

Задание 19 #6338

Сколькими способами купюру в \(50\) ропиков можно разменять монетами в \(1\) и \(2\) ропика?

Заметим, что если мы зафиксируем количество монет в \(2\) ропика, то количество монет в \(1\) ропик при размене купюры в \(50\) ропиков определяется однозначно. Поэтому достаточно посчитать, сколько монет в \(2\) ропика может быть при размене. Количество монет в \(2\) ропика варьируется от \(0\) до \(25\). Значит, всего есть \(26\) вариантов выбрать количество монет в \(2\) ропика, и именно это количество однозначно задает способ разменять купюру в \(50\) ропиков. Таким образом, существует \(26\) способов разменять купюры в \(50\) ропиков монетами в \(1\) и \(2\) ропика.

Ответ: 26

Задание 20 #6339

На числовом луче отмечены точки \(1\), \(2\), \(3\), …, \(101\). Сколько отрезков нечетной длины с концами в этих точках можно отметить?

Длина отрезка равна разнице между числами. Поэтому чтобы длина отрезка была нечетной, числа в концах отрезка должны быть разной четности. Четных чисел от \(1\) до \(101\) — \(50\) штук, а нечетных — \(51\). Значит, количество способов выбрать четное число равно \(50\), а нечетное — \(51\). Эти способы перемножаются, так как производится последовательный выбор, а также количество способов выбрать нечетное число не зависит от выбора четное числа. Поэтому пар четное-нечетное всего \(50\cdot 51=2550\), и столько же отрезков нечетной длины.

Ответ: 2550

Задание 21 #6340

Мисс Барашкис выписывает на доску все четырехзначные числа, в записи которых есть цифра \(5\). Сколько всего чисел выпишет на доску Мисс Барашкис?

В данном случае проще сначала посчитать количество четырехзначных чисел, в записи которых нет цифры \(5\), а затем вычесть их из \(9000\), то есть количества четырехзначных чисел.

Итак, считаем четырехзначные числа, в которых нет \(5\). На первом месте может стоять любая из \(8\) цифр (кроме \(0\) и \(5\)), на втором, третьем и четвертом местах — любая из \(9\) цифр (кроме \(5\)). Так как цифры выбираются последовательно и выбор очередной цифры не зависит от выбора предыдущих, то эти способы перемножаются. Значит, всего есть \(8\cdot 9\cdot 9\cdot 9=5832\) четырехзначных чисел без \(5\) в записи. Тогда четырехзначных чисел с цифрой \(5\) в записи всего \(9000-5832=3168\).

Комментарий. Если бы мы считали сразу количество чисел с цифрой \(5\), то у нас возникло бы две проблемы. Во-первых, пятерка может стоять на любом из \(4\) мест, и все эти способы надо учесть. Во-вторых, пятерок может быть несколько, и такие числа, как, например, \(5552\) мы можем посчитать несколько раз. Поэтому-то, чтобы решить эти две проблемы одним махом, мы считаем числа, в записи которых нет \(5\). Кстати, эту идею мы уже видели в 16-м уроке “Учти лишнее”.

Ответ: 3168