Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

Комбинаторика

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

H1 - Правило сложения и умножения (страница 3)

Задание 15 #6338

Сколькими способами купюру в \(50\) ропиков можно разменять монетами в \(1\) и \(2\) ропика?

Заметим, что если мы зафиксируем количество монет в \(2\) ропика, то количество монет в \(1\) ропик при размене купюры в \(50\) ропиков определяется однозначно. Поэтому достаточно посчитать, сколько монет в \(2\) ропика может быть при размене. Количество монет в \(2\) ропика варьируется от \(0\) до \(25\). Значит, всего есть \(26\) вариантов выбрать количество монет в \(2\) ропика, и именно это количество однозначно задает способ разменять купюру в \(50\) ропиков. Таким образом, существует \(26\) способов разменять купюры в \(50\) ропиков монетами в \(1\) и \(2\) ропика.

Ответ: 26

Задание 16 #6337

Мисс Барашкис выписывает на доску все трехзначные числа, у которых нет одинаковых цифр. Сколько чисел напишет на доску Мисс Барашкис?

Будем выбирать цифры этого числа последовательно, начиная с разряда сотен. Туда подходит \(9\) цифр: любая цифра, кроме \(0\). После этого на второе место мы можем выбрать \(9\) цифр: любая цифра, кроме той, что стоит на первом месте. Наконец, цифру единиц мы можем выбрать \(8\) способами: любая цифра, кроме тех двух, что уже стоят в разряде сотен и десятков. Эти способы выбрать очередную цифру перемножаются, так как количество способов выбрать очередную цифру не зависит от того, какие цифры мы уже выбрали ранее: \(9\cdot 9\cdot 8=648\).

Ответ: 648

Задание 17 #6336

Лис Ник собирается поставить на шахматную доску \(8\times 8\) две ладьи — черную и белую — так, чтобы они не били друг друга. Сколькими способами она может это сделать? Напомним, что ладья бьет по горизонтали и вертикали на любое число клеток.

Сначала поставим на доску белую ладью. Это можно сделать на любую клетку, то есть \(64\) способами. Теперь черную ладью нельзя ставить в тот же столбец или в ту же строку, в которых уже стоит белая ладья. Значит, остаются 7 строк и 7 столбцов, в которых может стоять ладья, всего \(7\cdot 7=49\) клеток. Поэтому черную ладью независимо от того, как была поставлена первая, можно выставить \(49\) способами. Тогда пару ладей мы можем поставить \(64\cdot 49=3136\) способами, так как количество способов поставить черную ладью не зависит от того, куда была поставлена белая ладья.

Ответ: 64 ⋅ 49 = 3136.

Задание 18 #6335

Мисс Барашкис выписала на доску все трехзначные числа, все цифры которых четны. Сколько чисел выписала на доску Мисс Барашкис?

Всего четных цифр, как и нечетных, \(5\): \(0\), \(2\), \(4\), \(6\) и \(8\). Однако цифру \(0\) нельзя ставить на первое место. Поэтому цифру из разряда сотен мы можем выбрать лишь \(4\) способами. После этого цифру из разряда десятков мы можем выбрать \(5\) способами, также цифру единиц мы можем выбрать \(5\) способами. Так как выбор цифры в очередном разряде не зависит от того, что мы выбрали ранее, эти способы надо перемножить: \(4\cdot 5 \cdot 5=100\).

Ответ: 100

Задание 19 #6334

На важной встрече присутствовали \(3\) мартышки, \(5\) шимпанзе и \(10\) котят. Перед началом встречи все обезьянки пожали лапы всем котятам. Сколько рукопожатий было сделано?

И мартышки, и шимпанзе — обезьяны, поэтому всего обезьян \(3+5=8\). В одном рукопожатии участвуют двое зверят: одна обезьянка и один котенок. Обезьянку можно выбрать \(8\) способами, а котенка — \(10\) способами. Так как обезьянку и котенка мы выбираем последовательно, а также выборы обезьянки и котенка не зависят друг от друга, то способы перемножаются: \(8\cdot 10=80\) способов выбрать пару обезьянка–котенок. Но каждая такая пара соответствует одному рукопожатию, значит, рукопожатий тоже \(80\).

Ответ: 80

Задание 20 #6333

Сколькими способами Мисс Барашкис может поставить на шахматную доску \(8\times 8\) белого и черного королей так, чтобы они не били друг друга? Король бьет все клетки, имеющие хотя бы одну общую точку с клеткой, на которой король стоит.

Правило умножения в данном случае не работает: в зависимости от того, куда мы поставим белого короля, он “запрещает” разное число клеток, куда нельзя поставить черного короля. Поэтому разберем три возможных варианта расположения короля, в которых он бьет разное число клеток.

Случай 1. Белый король стоит в углу. Выбрать угол для белого короля можно \(4\) способами. После этого черного короля нельзя ставить на \(4\) клетки: ту, в которой уже стоит белый король, и еще \(3\) соседние. Поэтому черного короля в этом случае можно поставить \(60\) способами. И сейчас правило умножения уже работает: вне зависимости от того, в какой угол мы поставим белого короля, он запретит \(4\) клетки, и черного короля можно будет поставить \(60\) способами. Значит, в этом случае поставить белого и черного королей можно \(4\cdot 60=240\) способами.

Случай 2. Белый король стоит с краю, но не в углу. Место белого короля можно выбрать \(24\) способами: подходят по 6 клеток возле каждой стороны шахматной доски. В этом случае белый король бьет \(5\) клеток, да еще занимают ту, на которой стоит. Значит, черному королю запрещены \(6\) клеток, и поставить черного короля мы можем \(64-6=58\) способами. Также, как и в предыдущем случае, работает правило умножения, поэтому способов поставить белого короля и черного короля, не бьющих друг друга, в данном случае \(24\cdot 58=1392\).

Случай 3. Белый король стоит не у края. Место белого короля можно выбрать \(36\) способами: подходит любая клетка центрального квадрата \(6\times 6\). В этом случае белый король бьет \(8\) клеток, и также занимает ту, на которой стоит. Поэтому для черного короля осталось \(64-8-1=55\) возможных клеток. Как и в двух предыдущих случаях, так как королей мы ставим последовательно, и в данном случае независимо от того, в какую из центральных \(36\) клеток мы поставили короля, черного можно поставить \(55\) способами, работает правило умножения, то есть способы можно перемножить: \(36\cdot 55=1980\) способами можно поставить белого и черного королей в этом случае.

Итак, мы разобрали все три случая того, сколько клеток может бить белый король, и в каждом посчитали количество способов поставить белого и черного королей. Полученные числа надо сложить, так как это разбор разных случаев, и чтобы получить все случаи сразу, мы складываем способы из разных случаев. Значит, итоговый ответ равен \(240+1392+1980=3612\).

Ответ: 3612

Задание 21 #6332

На сборе у Капитана Буйволсона присутствуют \(10\) курсантов. Он выбирает одного курсанта, который будет выписывать штрафы, и другого курсанта, который будет патрулировать северный район. Сколькими способами Буйволсон может выбрать двух курсантов?

Сначала \(10\) способами выбираем курсанта, который будет выписывать штрафы. После этого независимо от того, кого мы выбрали, остаются \(9\) курсантов, из которых надо выбрать того, кто будет патрулировать северный район. Это можно сделать \(9\) способами. Полученные способы перемножаются, так как количество способов выбрать второго курсанта не зависит от того, кого мы выбрали первым.

Ответ: 90