H1 - Клетчатые задачи (страница 2)

Как и в предыдущей задаче, сначала немного напишем о том, как пример придумать, а уже потом его нарисуем. В предыдущей задаче мы уже научились рисовать пример, когда периметры фигурок Джуди и Ника равны. Осталось лишь “испоганить” фигурку Ника так, чтобы ее периметр стал больше. Подойдет, например, такая фигурка:

Еще три фигурки получаются из этой поворотом вокруг центра квадрата на \(90^\circ\). Вообще, сами фигурку можно строить именно таким образом: поставить карандаш в центр квадрата, провести “кривую” линию до одной стороны, а потом просто повернуть эти линию на \(90^\circ\). Тогда из фигурок точно сложится квадратик:

Для полноты решения напомним, что фигурки Джуди выглядят следующим образом:

Комментарий. Взяв в этой задаче размеры доски побольше, скажем, \(12\times 12\), можно получить пример Ника с менее “кривыми” фигурками.

Ответ: Да, может.

Пример возможного разбиения указан на рисунке.

Комментарий 1. Таким последовательным построением можно получить указанное разбиение на любое число квадратов: пристраиваем к большей стороне уже имеющегося прямоугольник следующий квадрат.

Комментарий 2. Некоторые могут заметить, что длины сторон квадратов образуют так называемую последовательность Фибоначчи: первые две длины равны \(1\) и \(1\), а каждая следующая длина равна сумме двух предыдущих.

Ответ: Да, можно.

Рассмотрим 5 выделенных черным цветом квадратиков.

Заметим, что они не имеют общих границ-спичек. И для того, чтобы убрать каждый из этих квадратиков, нужно убрать хотя бы по одной спичке из каждого квадратика, то есть убрать не менее \(5\) спичек. Поэтому, какие бы \(4\) спички ни убрал Лис Ник, хотя бы один из рассмотренных пяти квадратиков останется целым, а значит, соответствующие \(4\) спички будут ограничивать прямоугольник.

Ответ: Нет, не может.

Один из возможных примеров показан на рисунке (оставшиеся спички выделены жирным).

Придумать его можно, например, так: попытаться выложить спичками замкнутые фигурки, не являющиеся прямоугольниками.

Ответ: